Análisis Probabilístico en Control de Calidad y Fiabilidad de Dispositivos

Se estima que el porcentaje de mandarinas infectadas por *Penicillium notatum* de una determinada partida es del 3 por mil.

Problema 1: Mandarinas Infectadas en Cajas

b1. Las mandarinas del apartado anterior se envasan en cajas de 100 mandarinas cada una. ¿Cuál es la probabilidad de que una caja tenga más de 3 mandarinas infectadas?

Sea Y: 'número de mandarinas infectadas en cada caja de 100'. Entonces, Y sigue una distribución Binomial B(100, 0.003).

Puesto que N es grande y p es pequeña, podemos aproximar Y por una distribución de Poisson con λ = 0.3.

P(Y > 3) = 1 - P(Y ≤ 3) = 1 - 0.9998 = 0.0002 (usando la tabla de Poisson)

b2. Para realizar cierto estudio se necesita al menos una mandarina infectada. ¿Qué tamaño N debe tener como mínimo una muestra si se quiere tener una probabilidad superior al 90% de que la misma contenga al menos una mandarina infectada?

Sea X: 'número de mandarinas infectadas en una muestra de N'. Entonces, X sigue una distribución Binomial B(N, 0.003).

P(X ≥ 1) > 0.9

1 - P(X < 1) = 1 - P(X = 0) > 0.9

1 - (N 0) * 0.003⁰ * (1 - 0.003)^N > 0.9

(0.997)^N < 0.1

N > ln(0.1) / ln(0.997) = 766.38

Por lo tanto, N_min = 767

Problema 2: Test de Detección de Bacterias

Un test detecta la presencia de un cierto tipo T de bacterias en el agua en un 90% de ocasiones, en caso de existencia de las mismas. Si el agua no contiene dicho tipo de bacterias, detecta su ausencia en un 80% de los casos.

Se sabe que la probabilidad de que una muestra de agua contenga bacterias de tipo T es de 0.2.

a) Calcular la probabilidad de que realmente haya presencia de bacterias cuando el test ha dado resultado negativo.

Definimos los siguientes eventos:

• A: 'presencia de bacterias en el agua'
• B: 'Test da positivo'

Tenemos: P(A) = 0.2, P(B|A) = 0.9

Aplicando el Teorema de Bayes:

P(A|B') = (P(B'|A) * P(A)) / P(B') = (0.2 * 0.1) / (0.2 * 0.1 + 0.8 * 0.8) = 0.03

b) Explica por qué la probabilidad de que realmente haya presencia de bacterias en el apartado anterior es menor, mayor o igual (según sea el caso) que 0.2.

Debe ser menor puesto que si el test ha salido negativo para la presencia de bacterias, es menos probable que realmente existan bacterias en el agua.

d) Hallar la probabilidad de que haya bacterias en el agua y además el test dé positivo.

P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) = 0.2 * 0.9 = 0.18

e) Obtener la probabilidad de que o hayan bacterias en el agua, o el test dé positivo.

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0.2 + (0.2 * 0.9 + 0.8 * 0.2) - 0.18 = 0.2 + 0.34 - 0.18 = 0.36

Problema 3: Fiabilidad de un Dispositivo

Un dispositivo está formado por 5 componentes conectadas tal como se indica en la figura. Las vidas de estas componentes son variables aleatorias independientes que siguen distribuciones exponenciales de media m = 1000 horas. Calcular la fiabilidad del dispositivo a las 500 horas.

Sea A_i: 'La componente i dura más de 500 horas'

Sea D: 'Dispositivo dura más de 500 horas'

P(A) = e^{-(1/1000)*500} = 0.6065

P(D) = (2 * 0.6065 - 0.6065²)² * 0.6065 = 0.4332

Problema 4: Picaduras de Mosca en Naranjas

Las naranjas de una partida en un almacén, tienen un número medio de 0.5 picaduras de mosca del Mediterráneo por naranja.

Responde a las siguientes cuestiones, indicando en cada caso la población estudiada así como la variable aleatoria tomada en consideración:

b1. ¿Cuál es la probabilidad de que una naranja de la partida no presente ninguna picada?

La población estudiada: todas las naranjas de la partida

Variable aleatoria X: 'número de picaduras de mosca por naranja'

X ≈ Poisson(λ = 0.5)

P(X = 0) = e^-0.5 * 0.5⁰ / 0! = 0.6065

b.2 ¿Cuál es la probabilidad de que en una bolsa con 20 naranjas recolectadas de dicho huerto tenga menos de 2 naranjas picadas?

La población estudiada: las bolsas

Variable aleatoria Y: 'naranjas picadas en una bolsa de 20 naranjas'

Y = Binomial(20, p) donde p = 1 - 0.6065 = 0.3935

P(Y < 2) = P(Y = 0) + P(Y = 1) = ((20 0) * 0.3935⁰ * (1 - 0.3935)²⁰ + (20 1) * 0.3935¹ * (1 - 0.3935)¹⁹) = 0.00063

Si se toman 3 naranjas al azar ¿Cuál es la probabilidad de que la suma total de defectos de picadas en las tres naranjas sea mayor que 2?

La población estudiada: grupos de 3 naranjas

Variable aleatoria Z: 'número de defectos de picaduras en 3 naranjas'

Z = Poisson(λ = λ₁ + λ₂ + λ₃ = 1.5)

P(Z > 2) = 1 - P(Z ≤ 2) = 1 - 0.8 = 0.2