Análisis de Fuerzas y Choques en Física

Rozamiento

El rozamiento se opone al movimiento relativo de dos superficies sin que este se produzca (μ_eN ≥ f_r), siendo μ_e el coeficiente estático. Si conocemos el ángulo del plano inclinado hasta que el cuerpo empieza a descender, en ese instante: mg sen(θ) - μ_eN = 0 para las fuerzas en el eje x, y N = mg cos(θ) para las fuerzas en el eje y. Por tanto, igualando y simplificando mg, tenemos μ_e = tg(θ).

Momento Angular

El momento angular (L) es el producto vectorial del vector posición (r) por el momento lineal (mv), resultando en un vector perpendicular al plano de giro de la partícula: L = r ^ mv. La variación del momento angular es: dL/dt = d(r ^ mv)/dt = (dr/dt ^ mv) + (r ^ m(dv/dt)). Como dr/dt = v y dv/dt = a, la expresión se simplifica a r ^ ma = ΣM_FA, donde ΣM_FA es el momento de las fuerzas. Si el momento de las fuerzas es nulo, la derivada del momento angular es cero, lo que implica que el momento angular se conserva.

Fuerzas Centrales

Partiendo del vector posición, el momento de una fuerza central es: M_oF = r ^ F = 0. Esto implica que F y r son paralelos. Una partícula bajo la acción de fuerzas centrales se mueve en un mismo plano (dos dimensiones). Ejemplos de fuerzas centrales son las fuerzas gravitatorias y elásticas.

Fuerzas Ficticias

Las fuerzas ficticias, o de inercia, no son fuerzas reales producidas por una interacción conocida (como la gravitatoria, elástica o magnética). Se analizan desde dos tipos de observadores: inerciales y no inerciales.

Observadores Inerciales

Los observadores inerciales se mueven con velocidad constante, y para ellos se aplican las leyes de Newton: F = ma. Simplemente se fijan en las fuerzas que inciden en un objeto y su naturaleza.

Observadores No Inerciales

Los observadores no inerciales utilizan un sistema acelerado, para el cual las leyes de Newton no se aplican directamente. Sin embargo, el resultado debería ser el mismo que el del observador inercial. La observación que perciben no es la misma que la de un observador inercial, por lo tanto, la ecuación F = ma no es correcta en su forma estándar. No obstante, descubren que si añaden al término de la izquierda una fuerza ficticia o de inercia, su ecuación cobra sentido.

Ejemplo: Un vagón de tren acelerado del que cuelga una bola con una tensión. El observador inercial (externo al vagón) observa: T sen(θ) = ma y T cos(θ) - mg = 0. El observador no inercial (dentro del vagón) no siente la aceleración, pero ve el cable inclinado e intuye: T sen(θ) + F_inercia = 0 y T cos(θ) - mg = 0. Como sabe que el resultado debe ser el mismo, F_inercia = -ma_vagón. Por lo tanto, T sen(θ) = ma_vagón.

Fuerza de Rozamiento Proporcional a la Velocidad

Estas fuerzas aparecen cuando un objeto se desplaza en el seno de un fluido (ej. caída libre). Aplicamos la ecuación escalar mg - f_r = ma (1), donde f_r = kv (2). Entonces, mg - kv = ma. A medida que la velocidad aumenta, la aceleración disminuye hasta alcanzar la velocidad límite constante: mg - kv_l = 0; v_l = mg/k.

Variación de la Velocidad con el Tiempo

mg - kv = ma = m(dv/dt). Dividiendo por m: g - (kv/m) = dv/dt. Separando variables e integrando: ∫dt = ∫dv/(g - (kv/m)) desde 0 hasta v. Resolviendo la integral: t = -(m/k) ln((g - kv/m)/g) => exp(-kt/m) = 1 - (kv/mg) => v(t) = (mg/k)(1 - exp(-kt/m)). Como v_l = mg/k, entonces: v(t) = v_l(1 - exp(-kt/m)). La aceleración es dv/dt: a(t) = g * exp(-kt/m).

Tipos de Choque según el Coeficiente de Restitución

El coeficiente de restitución (e) está acotado entre 0 y 1 (0 ≤ e ≤ 1). Sin importar su valor, se conserva el momento lineal. El valor de e solo afecta a la energía.

• Si e = 1: Choque elástico. Se conserva la energía mecánica. La velocidad relativa de los dos cuerpos después del choque es la misma que antes, pero con sentido opuesto.
• Si 0 ≤ e < 1: Choque inelástico. Hay pérdida de energía. La velocidad relativa después del choque es menor que antes.
• Si e = 0: Choque perfectamente inelástico o plástico. No se conserva la energía mecánica, pero sí el momento lineal. Los cuerpos se mueven juntos después del choque (velocidad relativa nula).

Demostración de 90º en Choque Oblicuo entre dos Bolas

Consideremos m₁ = m₂ = m y v₂ = 0 (bola 2 en reposo). Aplicamos la conservación del momento lineal: mv₁ = mv'₁ cos(θ₁) + mv'₂ cos(θ₂) (1) y 0 = mv'₁ sen(θ₁) - mv'₂ sen(θ₂) (2). Simplificando las masas: v₁ = v'₁ cos(θ₁) + v'₂ cos(θ₂) (1) y 0 = v'₁ sen(θ₁) - v'₂ sen(θ₂) (2). Despejando v'₁ y v'₂: v'₁ = v₁ (sen(θ₂)/sen(θ₁ + θ₂)) y v'₂ = v₁ (sen(θ₁)/sen(θ₁ + θ₂)). Si θ₁ + θ₂ = 90º, entonces v'₂ = v₁ sen(θ₁) y v'₁ = v₁ sen(θ₂). Comprobamos si se conserva la energía mecánica: (1/2)mv₁² = (1/2)mv'₁² + (1/2)mv'₂². Se comprueba que el choque es elástico (e = 1). La línea de choque se define por la dirección de la bola 2 después del impacto.