Análisis de Continuidad, Derivabilidad y Optimización de Funciones
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Análisis de Funciones: Continuidad, Derivabilidad y Optimización
Continuidad y Derivabilidad de Funciones Definidas a Tramos
Función f(x):
Sea la función definida por tramos:
- f(x) = x3 - x2 + 2, si -1 ≤ x ≤ 0
- f(x) = x2 - 4x + 5, si 0 < x ≤ 1
Análisis en x = 0
Continuidad:
Para que f(x) sea continua en x = 0, debe cumplirse que f(0) = limx→0- f(x) = limx→0+ f(x).
- f(0) = (0)3 - (0)2 + 2 = 2
- limx→0- f(x) = limx→0- (x3 - x2 + 2) = (0)3 - (0)2 + 2 = 2
- limx→0+ f(x) = limx→0+ (x2 - 4x + 5) = 0 - 0 + 5 = 5
Como los tres valores no son iguales, la función f(x) no es continua en x = 0, y por lo tanto, tampoco es derivable en x = 0.
Función h(x):
Sea la función definida por tramos:
- h(x) = -x2 + x + 2, si -1 < x ≤ 0
- h(x) = -x2 - x + 2, si 0 < x ≤ 1
Análisis en x = 0
Continuidad:
- h(0) = -(0)2 + (0) + 2 = 2
- limx→0- h(x) = limx→0- (-x2 + x + 2) = -(0)2 + (0) + 2 = 2
- limx→0+ h(x) = limx→0+ (-x2 - x + 2) = -(0)2 - (0) + 2 = 2
Como los tres valores son iguales, la función h(x) es continua en x = 0.
Derivabilidad:
h'(x) = -2x + 1, si -1 < x < 0
h'(x) = -2x - 1, si 0 < x < 1
Para que h(x) sea derivable en x = 0, debe cumplirse que limx→0- h'(x) = limx→0+ h'(x).
- limx→0- h'(x) = limx→0- (-2x + 1) = 0 + 1 = 1
- limx→0+ h'(x) = limx→0+ (-2x - 1) = 0 - 1 = -1
Como ambos valores no coinciden, la función h(x) no es derivable en x = 0.
Interpretación Geométrica
f(x) corresponde a un arco redondeado (túnel), mientras que h(x) corresponde a un arco puntiagudo, característico de una catedral, debido a su falta de derivabilidad en x=0.
Optimización de Beneficios Empresariales
Función de Beneficios:
La función de beneficios de una empresa está dada por f(x) = -x2 + 11x - 10, donde x representa la inversión en millones de euros.
Puntos de Corte con el Eje X
Para encontrar los puntos de corte con el eje X, resolvemos -x2 + 11x - 10 = 0. Las soluciones son x = 1 y x = 10. En el intervalo (1, 10), la función de beneficio es no negativa.
Beneficio Máximo
Como la parábola tiene ramas hacia abajo, el beneficio máximo se encuentra en el vértice. Calculamos la derivada:
f'(x) = -2x + 11
Igualamos a cero para encontrar el punto crítico: -2x + 11 = 0, lo que da x = 5.5.
Para verificar que es un máximo, calculamos la segunda derivada: f''(x) = -2, que es menor que 0. Por lo tanto, x = 5.5 es un máximo.
El valor de la inversión es de 5.5 millones de euros, y el beneficio máximo es f(5.5) = -(5.5)2 + 11(5.5) - 10 = 20.25 millones de euros.
Crecimiento del Beneficio
La parábola crece desde -∞ hasta la abscisa del vértice. En nuestro caso, el beneficio crece entre 1 y 5.5 millones de euros.
Análisis del Vaciado de un Depósito
Función de Volumen:
El volumen de agua en un depósito en función del tiempo (t) está dado por V(t) = (t/16 - 4)2, donde V(t) se mide en metros cúbicos y t en minutos.
Volumen Máximo
El volumen máximo ocurre cuando el depósito está lleno, es decir, en t = 0. Por lo tanto, V(0) = (0/16 - 4)2 = 16 m3.
Tiempo de Vaciado
Para encontrar el tiempo en que el depósito se vacía, resolvemos V(t) = 0:
(t/16 - 4)2 = 0
t/16 - 4 = 0
t = 64 minutos
El depósito se vacía en 64 minutos.
Velocidad de Vaciado
La velocidad de vaciado es la derivada de V(t) con respecto a t:
V'(t) = 2(t/16 - 4)(1/16) = (t/128) - 1/2
En t = 8 minutos, la velocidad de vaciado es V'(8) = (8/128) - 1/2 = 1/16 - 1/2 = -7/16 m3/min.
La pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto es -7/16.