Análisis de Continuidad, Derivabilidad y Monotonía de Funciones

Problema 1

Sea P(t) el porcentaje de células, de un determinado tejido.

a) Continuidad en t=5

Estudiamos la continuidad solo en t=5, ya que t² es continua en R y en particular en 0 ≤ t ≤ 5; y la función (100t - 250) / (t + 5) es continua en R - {-5} y en particular en t > 5.

lim (x → 5^-) de t² = 25.

lim (x → 5⁺) de (100t - 250) / (t + 5) = 25.

Igualamos los límites: P(5). Es continua.

b) Derivabilidad en t=5

Calculamos la función derivada:

P'(t) = 2t si 0 < t < 5

P'(t) = 750 / (t+5)² si t > 5

P'(5^-) = 10.

P'(5⁺) = 7.5.

No son iguales. No es derivable en t=5.

c) Monotonía

Estudiamos la monotonía.

2t = 0 ; t = 0. La función es creciente en 0 ≤ t ≤ 5, ya que P'(1) = +. En t = 0 tiene un mínimo absoluto o relativo.

750 / (t+5)² = 0. No. La función es creciente en t > 5, ya que P'(6) = +.

La función es siempre creciente, por lo tanto, el porcentaje de células afectadas crece con el tiempo.

d) Cálculo del tiempo para P(t) = 50

(100t - 250) / (t+5) = 50 ; 100t - 250 = 50t + 250 ; 50t = 500; t = 10.

Luego, a los 10 meses el porcentaje de células afectadas es 50.

Problema 2

Sean dos funciones, f y g, tales que las expresiones de sus funciones derivadas son.

Me están pidiendo la monotonía, que es el estudio de f'(x) y de g'(x).

f'(x) = x + 2

Si f'(x) = 0; tenemos x + 2 = 0, de donde x = -2, que puede ser el posible extremo relativo.

Como f'(-3) = -1 < 0, f(x) es estrictamente decreciente en (-∞, -2).

Como f'(0) = 2 > 0, f(x) es estrictamente creciente en (-2, +∞).

Por definición x = -2 es un mínimo relativo de f.

g'(x) = 2

Si g'(x) = 0; tenemos 2 = 0, lo cual es absurdo, luego g no tiene extremos (no tiene derivada nula) y siempre es creciente o decreciente.

Como g'(0) = 2 > 0, g(x) siempre es estrictamente creciente.

Sabemos que en las funciones polinómicas, la derivada gasta un grado porque si f(x) = x^k, f'(x) = k · x^k-1. Como g'(x) = 2, g(x) es de primer grado, porque al derivar desaparece la x.

Problema 3

Determine los valores que han de tomar a y b para que la función.

Si una función es derivable sabemos que también es continua. Calcularemos primero la continuidad y después la derivada.

La función –x² + ax - 7 es continua y derivable en R, en particular en (-∞, 1).

La función 4x - b es continua y derivable en R, en particular en x ≥ 1.

Estudiamos la continuidad en x = 1.

f(x) es continua en x = 1 si f(1) = lim (x → 1^-) de f(x) = lim (x → 1⁺) de f(x).

f(1) = 4(1) - b = 4 - b

lim (x → 1^-) de f(x) = lim (x → 1^-) de (-x² + ax - 7) = -1 + a – 7 = a - 8

lim (x → 1⁺) de f(x) = lim (x → 1⁺) de (4x - b) = 4 - b.

Como f es continua en “x = 1”, tenemos 4 - b = a – 8.

Veamos la derivabilidad en x = 1.

f(x) = -x² + ax - 7 si x < 1 4x - b si x ≥ 1

f'(x) = -2x + a si x < 1 4 si x ≥ 1

lim (x → 1^-) de f'(x) = lim (x → 1^-) de (-2x + a) = -2 + a

lim (x → 1⁺) de f'(x) = lim (x → 1⁺) de (4) = 4

Como f es derivable en “x = 1”, tenemos -2 + a = 4, de donde a = 6.

Entrando en la otra ecuación tenemos 4 - b = 6 – 8, de donde b = 6.

Para que f sea derivable en R, a = 6 y b = 6.