Análisis de Circuitos Eléctricos y Conceptos de Electromagnetismo

Energía de un Circuito Eléctrico. Rendimiento

Cuando hay una corriente en un conductor, la energía eléctrica se convierte en térmica continuamente. Cuando fluyen cargas en el interior de un conductor, el flujo va desde potenciales mayores a potenciales menores en el sentido del campo eléctrico. De esta manera, la carga pierde energía potencial que se va transformando en energía cinética de los portadores. Consideremos la carga ΔQ que pasa por el punto A en un tiempo Δt. Si el potencial en ese punto es V_A, la carga tendrá una energía potencial ΔQ·V_A. Durante este intervalo de tiempo, la misma cantidad de carga pasa por el punto B, donde el potencial es V_B y tiene una energía potencial ΔQ·V_B, que es menor que la inicial. La energía perdida por la carga al pasar por el conductor a través de este segmento es: -ΔW=Δ(QV_A-QV_B)=Q·ΔV

La velocidad con que la carga pierde energía es: -ΔW/Δt=ΔQ/Δt·ΔV=I·ΔV

Donde I es la corriente eléctrica y la potencia perdida en el conductor es: P=I·ΔV

Aplicando la ley de Ohm podemos reescribir la ecuación anterior: P=R·I²

A esta energía perdida en el conductor se le llama calor por efecto Joule.

Debido a estas pérdidas, una fuente real no puede entregar toda la potencia a la carga. η=P_salida/P_entrada=P_entrada-R·I²/P_entrada

Gradiente de un Escalar

El potencial es un escalar y está definido en todos los puntos del espacio mediante una función V=(x,y,z). Podemos incrementar dicho potencial desde un punto M hasta un punto N tan próximo como queramos, siendo los potenciales en dichos puntos:

• En M: V(x,y,z)
• En N: V(x+Δx,y+Δy,z+Δz)

Si escribimos la variación del potencial: ΔV=V(x+Δx,y+Δy,z+Δz)-V(x,y,z), ΔV=(∂V/∂x)Δx+(∂V/∂y)Δy+(∂V/∂z)Δz

Si dividimos por dr, el cociente ΔV/Δr es la derivada direccional de V. ΔV/Δr=(∂V/∂x)Δx/Δr+(∂V/∂y)Δy/Δr+(∂V/∂z)Δz/Δr

Podemos considerar ΔV/Δr como el producto escalar de dos vectores: uno que depende de V y de las coordenadas del punto M y otro que depende de la dirección de dr. ΔV/Δr=((∂V/∂x)x̂+(∂V/∂y)ŷ+(∂V/∂z)ẑ)·((Δx/Δr)x̂+(Δy/Δr)ŷ+(Δz/Δr)ẑ) ΔV/Δr=(∂V/∂xx̂+∂V/∂yŷ+∂V/∂zẑ)·Δr⃗/Δr; ΔV/Δr=grad V·Δr⃗/Δr

En forma operacional, el gradiente se expresa: grad V=(∂V/∂xx̂+∂V/∂yŷ+∂V/∂zẑ)·V=∇·V donde ∇ es el llamado Operador Nabla.

En una superficie equipotencial (lugar geométrico de los puntos en el que el escalar toma el mismo valor) se verifica que V(x,y,z)=constante. Entonces para todos los puntos de dicha superficie ∇·V=Δr⃗_t=0. El gradiente en cualquier punto es normal a la superficie equipotencial.

Ley de Ampere

Considerando una corriente eléctrica rectilínea, vamos a plantear la circulación a lo largo de una circunferencia que está en un plano perpendicular a la corriente: ∮B·dl=B·∮dl=μ₀I2πr·2πr=μ₀I. Esta expresión es válida para el cálculo de la circulación de un campo magnético a lo largo de cualquier trayectoria cerrada situada en el vacío que incluya en su interior una corriente I que atraviese el circuito de forma arbitraria.

“La ley de Ampere nos permite calcular la circulación de un campo magnético a través de una línea cerrada atravesada por intensidades constantes”. Utilizando el T. Stokes: ∮B·dl=∫∫∇×Bds y teniendo en cuenta que I=∫j ds : ∫∇×B⃗ ds=μ₀∫j⃗ ds →∇×B⃗=μ₀·j (densidad de corriente donde j es un vector en la dirección de la corriente y su módulo es la intensidad por unidad de superficie).

Flujo de un Vector a Través de su Superficie

Dada una superficie S en un campo vectorial, la descomponemos en dS y hacemos corresponder a cada uno con un vector normal a la superficie. Llamamos flujo elemental al producto A·dS. Sumando todos los flujos se obtiene: Φ=∮A·dS. El flujo representa el número de líneas que atraviesan la superficie. Si A y dS forman un ángulo agudo, el flujo es saliente.