Anàlisi i Resolució d'Exercicis de Matemàtiques Financeres

PAC 1: Règims Financers

1. Una empresa d'exportació necessita liquiditat

Una empresa dedicada a l'exportació necessita liquiditat per renovar part de la seva maquinària i per a això realitza, avui, les següents operacions:

• Liquida un compte corrent retribuït al 3,5% d'interès simple, vençut i anual. Aquest compte es va obrir fa 10 mesos amb un ingrés de 22.000€ i 8 mesos després es va realitzar un altre ingrés de 15.000€.
• Obté 12.000€ del descompte d'un efecte comercial que venç d'aquí a 7 mesos. L'entitat bancària ha aplicat a aquesta operació un 5,5% anual en règim financer de descompte comercial.

Paràmetres:

• i = 0,035

a) El saldo, avui, del compte corrent.

Paràmetres:

• t = 10/12 (interès anual) i 1/6
• c = 22.000 i 15.000

Apliquem la fórmula del règim financer d'interès simple vençut:

b) El nominal de l'efecte comercial:

Paràmetres:

• d = 0,055
• t = 7/12 (interès anual)
• c = 12.000

Utilitzem la fórmula de règim financer de descompte comercial:

c) La rendibilitat que obté l'entitat bancària del descompte de l'efecte comercial expressada com a tipus d'interès simple, vençut i anual.

Fórmula d'equivalència entre tipus d'interès simple vençut:

2. Inversió en dipòsit a interès compost

Fa 4 anys una empresa de telefonia va invertir 20.000€ en un dipòsit retribuït al 4,5% d'interès nominal capitalitzable semestralment. Si al final del tercer any l'empresa va retirar 3.500€, calcula:

Paràmetres:

• c = 20.000
• i₂ = 0,045 → I₂ = 0,045/2 = 0,0225
• n = 4 * 2 = 8

Utilitzem la fórmula del règim financer d'interès compost.

a) El saldo acumulat avui en el dipòsit.

= 20.000 * (1,0225)⁸ - 3.500 * (1,0225)² = 20.237,35

b) Planteja l'equació que permet calcular la TAE de l'operació.

Prestacions: (20.000, 0)

Contraprestacions: {(3.500, 3); (20.237,35, 4)}

TAE: C_r * (1+I₁)^Tr = C' * (1+I₁)^Ts

20.000 * (1+I₁)⁴ = 3.500 * (1+I₁)¹ + 20.237,35

c) Si el dipòsit s'hagués obert fa dos anys amb el mateix tipus d'interès i l'empresa no hagués fet cap reintegrament, quin import s'hauria d'haver ingressat en aquell moment per obtenir avui el mateix saldo que el calculat en l'apartat a)?

Paràmetres:

• I₂ = 0,0225
• n = 4

3. Estalvi per a un negoci: dipòsit a interès compost amb tipus variables

Fa 5 anys dos enginyers van començar a estalviar per iniciar un negoci i van obrir un dipòsit pactat en règim financer d'interès compost amb la següent remuneració:

• El primer any: un 1,5% anual capitalitzable quadrimestralment.
• El segon i tercer any: un 2,25% efectiu semestral.
• La resta del termini: un 4,5% efectiu anual.

En el moment de l'obertura del dipòsit van ingressar 6.000€, 8 mesos després van aportar 3.000€, fa 13 mesos van ingressar 4.000€ i avui 5.000€ més. Calcula:

a) El saldo actual en el dipòsit.

= 6.000 * (1,005)³ * (1,0225)⁴ * (1,045)² + 3.000 * (1,005) * (1,0225)⁴ * (1,045)² + 4.000 * (1,045)^13/12 = 20.064,37

b) L'equació que permet obtenir la TAE del dipòsit.

Prestacions: {(6.000, 0); (3.000, 8/12); (4.000, 47/12); (5.000, 5)}

Contraprestacions: (20.064,37, 5)

TAE dipòsit amb més d'una imposició: C₁ * (1+I₁)^T1 + C₂ * (1+I₁)^T2 + C₃ * (1+I₁)^T3 + C₄ = C'_Total

6.000 * (1+I₁)⁵ + 3.000 * (1+I₁)^13/3 + 4.000 * (1+I₁)^13/12 + 5.000 = 20.064,37

c) L'import que es podria retirar del dipòsit d'aquí a 4 mesos si finalment volen tenir acumulats 16.000€ al cap d'un any. Se suposa que durant el proper any el dipòsit rendirà al 0,4% efectiu bimestral.

Paràmetres:

• I₆ = 0,004

4. Càlcul de tipus d'interès compost equivalents

Completa la següent taula calculant els tipus d'interès compost equivalents als proposats. Expressa els resultats en tant per un i amb un mínim de 6 decimals. També has de plantejar l'equivalència entre els tipus.

• De tipus efectiu a efectiu: (1+I_m)^m = (1+I_n)ⁿ
• De tipus nominal anual a efectiu: I_m = i_m/m

PAC 2: Rendes Financers I

1. Premi de concurs televisiu: valor actual de rendes trimestrals

La família Pérez ha guanyat avui un concurs televisiu el premi del qual consisteix en el cobrament de 20 quotes trimestrals de 1.200€ cadascuna d'elles. L'empresa patrocinadora del concurs els ofereix la possibilitat de pagar-los l'import equivalent del premi avui mateix, aplicant un tipus d'interès del 2% anual capitalitzable trimestralment. Troba l'import que cobraria avui la família Pérez si la primera quota es paga:

Paràmetres:

• i₄ = 0,02
• c = 1.200
• n = 20

a) Avui mateix.

Es tracta d'una renda constant, immediata, anticipada.

Primer la calculem com a vençuda:

Ara l'anticipem:

b) Dintre de tres mesos.

Renda constant, temporal, vençuda.

La calculem com a vençuda:

c) Dintre de nou mesos.

Renda constant, temporal, vençuda, diferida 2 períodes.

2. Pla d'estalvi amb aportacions mensuals anticipades

Un estalviador inicia avui un pla d'estalvi, retribuït al 3% anual capitalitzable mensualment, en el qual anirà realitzant aportacions mensuals, per anticipat, durant 20 anys. Calcula:

Es tracta d'una renda anticipada.

a) Capital acumulat en el pla d'estalvi si les aportacions ascendeixen a 300€ cada mes.

Renda constant, de periodicitat mensual, anticipada, immediata i temporal.

Paràmetres:

• c = 300
• n = 20 * 12 = 240

Primer calculem el valor final de la renda com a vençuda:

Ara calculem el valor final de la renda com a anticipada:

b) Si l'objectiu de l'estalviador és disposar de 150.000€ al final del termini, quina aportació mensual constant ha de realitzar a l'inici de cada mes en el pla d'estalvi?

Les aportacions al pla d'estalvi constitueixen una renda de periodicitat mensual, constant, anticipada, immediata i temporal.

Primer calculem el valor final de la renda com a anticipada:

Ara calculem el valor de la renda com a vençuda:

c) Raona sense fer cap càlcul, si en el supòsit de l'apartat anterior l'import de l'aportació mensual constant a realitzar en el pla d'estalvi seria major, menor o igual a l'obtinguda, si el tipus d'interès aplicat fos del 4% anual capitalitzable mensualment.

L'interès efectiu mensual és major; per tant, amb menys aportació mensual s'aconseguirà l'objectiu de 150.000€.

3. Finançament de material informàtic: comparativa d'alternatives

Una petita empresa decideix renovar part del seu material informàtic i el seu proveïdor habitual li ofereix dues alternatives per al finançament del mateix:

• Alternativa A: Pagar 60 quotes trimestrals de 5.000€ cadascuna d'elles, fent-se efectiva la primera d'elles als 9 mesos de la data de la compra.
• Alternativa B: Pagar 180 quotes mensuals de quantia 1.620€, fent-se efectiva la primera d'elles al cap d'un mes de la data de la compra.

Si el tipus d'interès aplicat és el 4% efectiu anual, quin de les dues alternatives de finançament resulta més beneficiosa per a l'empresa?

L'alternativa A consisteix a pagar 60 quotes trimestrals de quantia 5.000€ cadascuna. Com que les 60 quotes trimestrals constitueixen un conjunt de capitals financers amb periodicitat trimestral i de quantia constant, estem davant una renda financera trimestral i constant, de 60 termes, per tant temporal, en la qual la primera quota es farà efectiva als 9 mesos de la data de la compra, és a dir, als 3 trimestres de la data de la compra, de manera que podem considerar la renda vençuda i diferida 2 trimestres.

L'alternativa B consisteix en pagar 180 quotes mensuals de quantia 1.620€ cadascuna. Com les 180 quotes mensuals constitueixen un conjunt de capitals financers amb periodicitat mensual i de quantia constant, estem davant una renda financera mensual i constant, de 180 termes, per tant temporal, en què la primera quota es farà efectiva un mes després de la compra, de manera que podem considerar la renda vençuda i immediata.

Nota: Cal tenir en compte els períodes de diferiment i que l'interès efectiu ha de coincidir amb la periodicitat de les quotes (trimestral per a quotes trimestrals, mensual per a quotes mensuals).

Primer, cal calcular l'interès efectiu corresponent a cada alternativa.

Segon, aplicar la fórmula de valor actual:

Com en el cas de l'alternativa A hi ha diferiment, calcularem la diferida:

4. Adquisició de terrenys: preu actual amb rendes variables

Un particular adquireix avui uns terrenys i acorda amb el venedor pagar 25 quotes semestrals, fent-se efectiva la primera d'elles als 3 mesos de la data de la compra. L'import de cadascuna de les 10 primeres quotes ascendeix a 2.500€ i el de les 15 quotes restants 4.000€ cadascuna. L'operació s'ha pactat al 5% efectiu anual. Quin és el preu avui dels terrenys?

Renda 1 (10 primeres quotes): Semestral, temporal (el nombre de quotes és 10), constant (l'import de les quotes és sempre de 2.500€) i es pot considerar anticipada i diferida mig semestre, ja que la primera quota es fa efectiva als tres mesos de la data de la compra, és a dir, al cap de mig semestre de la data de la compra.

Primer calculem el valor inicial com a vençuda les 10 primeres quotes:

Ara les anticipem:

I calculem el diferiment:

Renda 2 (15 últimes quotes): Semestral, temporal (el nombre de quotes és 15), constant (l'import de les quotes és sempre de 4.000€) i es pot considerar vençuda i diferida 9 semestres i mig, ja que la primera quota de les últimes quinze es fa efectiva als 10 semestres i mig de la data de la compra.

Primer calculem el valor inicial com a vençuda les 10 primeres quotes:

I calculem el diferiment:

PAC 3: Rendes Financers II

1. Pla d'estalvi per a un viatge amb imposicions variables

Avui la Maria obre un compte bancari on realitzarà 12 imposicions mensuals amb l'objectiu d'estalviar per a la realització d'un viatge. El tipus d'interès del compte és l'Euribor 12 mesos del dia 31/01/2011 més un diferencial del 2% (tingueu en compte que l'Euribor 12 mesos és un tipus d'interès nominal capitalitzable anualment). Si la primera imposició s'efectua en el moment de l'obertura del compte, calcula el saldo del compte d'aquí a 1 any si:

Has de tenir en compte que la freqüència de la renda i la freqüència del tipus d'interès han de ser sempre la mateixa (prima la freqüència de la renda).

a) La primera imposició és de 100 €, quantia que s'anirà incrementant en 10 € cada mes.

Es tracta d'una renda variable, temporal i vençuda en progressió aritmètica.

Paràmetres:

• h = a la freqüència de la progressió, en aquest cas 10.

Ara apliquem la fórmula de valor final:

b) La primera imposició és de 80 €, quantia que s'anirà incrementant en un 10% mensual acumulatiu.

Renda de variació geomètrica, mensual, anticipada, immediata i temporal.

Paràmetres:

• c₁ = 80
• c₂ = c₁ * 1,1 = 88

Primer calculem q: c₂ = c₁ * q

Com q és diferent de (1+I_m), llavors apliquem la següent fórmula de valor final:

2. Finançament d'una nau: càlcul de quotes variables

L'empresa "Construccions Martínez" desitja ampliar les seves instal·lacions i per a això, vol adquirir una nau el preu de la qual al comptat és de 200.000 €. L'entitat financera li ofereix finançar la nau mitjançant 30 quotes semestrals, la primera de les quals es farà efectiva 6 mesos després de realitzar la compra. D'aquestes 30 quotes, les primeres 15 són constants i les següents 15 són creixents en un 3% semestral acumulatiu (a la quota 16 ja se li aplica l'increment del 3%). El tipus d'interès vigent per a tot el termini de l'operació és d'un 6% nominal capitalitzable semestralment. Calcula la primera i l'última quota que haurà de pagar l'empresa "Construccions Martínez".

Les 15 primeres quotes són una renda constant, temporal, semestral, vençuda i immediata.

Apliquem la fórmula:

Les 15 darreres quotes són una renda creixent en variació geomètrica, temporal, semestral, vençuda i diferida 14 semestres.

Primer hem de calcular q com en l'exercici anterior. Com en aquest cas q = (1+I_m), apliquem la fórmula de valor inicial:

Un cop tenim la primera quota, que és la suma dels dos càlculs anteriors, la multipliquem per 1,03 (augment constant del 3%), i llavors tindrem c₁. També sabem q, ja que l'hem calculat abans. Llavors, per calcular c₁₅, apliquem la fórmula:

3. Pla de pensions: aportacions i pensió de jubilació

En Joan té 40 anys i és enginyer industrial. Té previst jubilar-se als 65 anys, per la qual cosa amb l'objectiu de complementar la seva jubilació, realitza aportacions anuals al final de cada any a un pla de pensions privat. Les aportacions al pla seran creixents en un 1% anual acumulatiu. El càlcul de la seva esperança de vida és de 85 anys i desitja tenir una pensió de 1.500 € al final de cada mes quan estigui jubilat. Si considerem que el tipus d'interès en la fase d'aportació serà del 4% nominal amb capitalització trimestral, mentre que a partir de la jubilació serà del 0,25% efectiu mensual, calcula:

a) L'import de la primera i última aportació anual al pla de pensions privat.

Es tracta d'una renda temporal i vençuda en progressió geomètrica els 25 primers anys, i una renda constant, temporal i vençuda els darrers 20. Primer calculem els darrers 20 (fem el mateix que l'exercici anterior amb V₀, primera fórmula). Amb aquest resultat obtenim V_f per calcular els 25 últims anys. Quan calculem q, veiem que és diferent de (1+I_m), llavors apliquem la fórmula que hem vist a l'exercici 1b, i obtindrem c₁. Per obtenir la darrera quota, hem d'aplicar la darrera fórmula de l'exercici anterior.

b) L'import de la primera i última aportació en cas que aquestes siguin trimestrals al final de cada trimestre, creixents en 20€ i amb l'objectiu d'obtenir un únic capital de 200.000€ als 65 anys.

Es tracta d'un exercici en progressió aritmètica. Per calcular el valor inicial apliquem la mateixa fórmula que a l'exercici 1. Un cop sabem c₁, calculem la darrera quota utilitzant la següent fórmula:

4. Reestructuració de pagaments per la compra d'una finca

Fa 3 anys, en Pere i la Rosa van comprar una finca per la qual estan realitzant pagaments trimestrals per vençut de 1.500 € durant 8 anys. Transcorreguts 3 anys i just després del pagament de la dotzena trimestralitat, reben 15.000 € d'una herència, per la qual cosa convenen amb el venedor de la finca en substituir els 20 pagaments restants pel lliurament dels 15.000 € i la resta en 5 anualitats creixents en un 2% anual acumulatiu.

a) Determina l'import de la primera anualitat, tenint en compte que el tipus d'interès vigent és un 3,5% nominal capitalitzable trimestralment.

Característiques de la renda: constant, vençuda, immediata i temporal.

Primer calculem el que queda per pagar en el trimestre 12.

Paràmetres:

• n = 32 - 12
• c = 1.500
• i₄ = 0,035 → I₄ = 0,00875

Apliquem la fórmula de valor actual:

= 27.412,07

Ara calculem el valor actual restant-li els 15.000 de l'herència: 27.412,07 - 15.000 = 12.412,07

Ara passem l'interès trimestral a interès anual: (1+I₁) = (1+I₄)⁴ → I₁ = 0,03546.

Ara calculem la resta de pagaments, que són una renda variable i creixent en variació geomètrica.

Paràmetres:

• n = 5
• c = ?
• V₀ = 12.412,07

Primer calculem q:

c₁ = 1,02; c₂ = c₁ * q → q = c₂/c₁ = 1,02 → Per tant, q és diferent a (1+I_m), llavors apliquem la fórmula de valor actual:

Llavors ja tenim l'import de la primera anualitat c₁.

b) Si les anualitats es comencessin a pagar a partir del tercer any, explica si aquestes serien majors, menors o iguals a les anteriors.

Haurien de ser més grans, ja que hi ha un diferiment de 3 anys, i el diferiment fa que el valor actual augmenti.

PAC 4: Préstecs Financers I

1. Préstec per a la volta al món: càlculs i TAE

Amb l'objectiu de fer la volta al món, en Lluís demana a la seva entitat financera un préstec de 20.000€. Les condicions que li ofereixen són les següents:

• Nominal: 20.000€. (= C)
• Termini total: 2 anys. (t = 2)
• Préstec amortitzable mitjançant un únic pagament de capital i interessos al final de l'operació.
• Tipus d'interès: 5% anual capitalitzable semestralment. (i₂ = 0,05 → I₂ = 0,025)
• Comissió d'estudi: 0,15% sobre el nominal.

Paràmetres:

• n = 2 * 2 = 4

a) Calcula l'import que ha de pagar en Lluís als dos anys per poder cancel·lar el préstec.

Es tracta d'un préstec amortitzable mitjançant el pagament únic de capital i interessos al final de l'operació. Apliquem la fórmula:

= 22.076,25781

b) Calcula el deute pendent i la reserva matemàtica als 6 mesos de la concessió del préstec.

El deute pendent coincideix amb el nominal del préstec en qualsevol moment, és a dir, en aquest cas 20.000€.

Per calcular la reserva matemàtica, calculem la reserva retrospectiva (s'ha de tenir en compte n que és 1/4, ja que són semestres):

= 20.500

c) Calcula la TAE del préstec.

Contraprestacions: (20.000, 0)

Prestacions:

• G_0,1 = 0,15/100 * 20.000 = 30 (30, 0)
• (22.076,25781, 2)

Apliquem:

Llavors:

Llavors apliquem la fórmula de la TAE:

d) Raona com afectaria a la TAE del préstec la inclusió de 500€ per despeses notarials, a pagar pel prestatari en el moment de la formalització del préstec.

En el càlcul de la TAE, les despeses notarials no s'inclouen, ja que corresponen a pagar al prestatari i no al prestador. Per tant, la TAE no canvia.

2. Hipoteca: càlcul de quotes i ampliació

La Maria i l'Albert es van comprar un pis fa 5 anys, i per a això van haver de demanar un préstec a la seva entitat financera de 300.000€. Les condicions de l'operació van ser les següents:

• Nominal: 300.000€. (= C)
• Termini total: 20 anys. (n = 20 anys * 12 mesos = 240)
• Terme amortitzatiu mensual i constant (sistema francès).
• Tipus d'interès: 4% anual capitalitzable mensualment. (i₁₂ = 0,04 → I₁₂ = 0,04/12 = 0,00333)
• Comissió d'obertura: 0,1% sobre el nominal. (G_0,1 = 0,1% * 300.000 = 300)

Llegenda:

• α = terme amortitzatiu
• A = Quota de capital
• Y = Quota d'interès

a) Calcula el terme amortitzatiu, la quota d'interès i la quota d'amortització de capital del mes 60 del préstec.

Es tracta d'un préstec amortitzable pel sistema francès amb termes amortitzatius constants, pagaders per vençut i mensuals.

Primer calculem el terme amortitzatiu:

α = 1.816,24

Ara calculem A₁ i Y₁:

Y₁ = C * I_m = 300.000 * 0,00333 = 999,99

A₁ = α - Y₁ = 1.816,24 - 1.000 = 816,24

Ara calculem A₆₀ i Y₆₀:

A₆₀ = A₁ * (1+I_m)^n-1 = 816,24 * 1,00333⁵⁹ = 993,31

Y₆₀ = α - A₆₀ = 1.816,24 - 993,31 = 822,93

b) La Maria i l'Albert volen realitzar, avui, un cop pagat el terme amortitzatiu del mes 60, una ampliació de la hipoteca per renovar els mobles del seu pis. Si es mantenen les condicions del préstec, calcula l'import màxim que poden ampliar la hipoteca si no volen pagar més de 2.250€ al mes.

Calculem la reserva matemàtica per saber el deute que tenen en la quota 60:

Paràmetres:

• n = 240 - 60 = 180
• α = 2.250
• I₁₂ = 0,00333

c) Tenint en compte que finalment amplien la hipoteca, i que les despeses d'ampliació de la mateixa pugen a 500€, planteja l'equació que permet calcular el tipus efectiu anual del prestatari.

Paràmetres:

• G_0,1 = (0,1/100) * 300.000 = 300
• G_60,1 = 500

Prestacions: {(300.000, 0); (58.640,90, 5)}

Contraprestacions: {(300, 0); (500, 5); (1.816,24, 60/12); (2.250; 180/12)}

Apliquem la fórmula:

3. Préstec amb carència total i pagament periòdic d'interessos

En David viu un moment difícil en el seu negoci i necessita una immediata injecció de liquiditat. Atès que espera que el seu negoci es recuperi en els propers anys, demana a la seva entitat financera un préstec de 100.000€ amortitzables mitjançant un sol pagament al final de termini i abonament periòdic d'interessos. Les condicions que li ofereix la seva entitat financera són les següents:

• Nominal: 100.000€. (= C)
• Termini total: 6 anys. (= t)
• Termini de carència total: 1 any. (d = 1 * 4 = 4)
• Pagament trimestral d'interessos i devolució del nominal del préstec al final de l'operació.
• Tipus d'interès: 4% anual capitalitzable trimestralment. (i₄ = 0,04 → I₄ = 0,01)

a) Calcula la quota d'interès que en David pagarà després del primer any de carència total.

Es tracta d'un préstec capitalitzable mitjançant pagament únic amb interessos trimestrals.

Calculem el capital diferit 1 any:

= 100.000 * (1,01)⁴ = 104.060,401

Ara calculem l'interès:

Y = C * I_m = 104.060,401 * 0,01 = 1.040,60

b) Calcula el deute pendent i la reserva matemàtica a l'any i 7 mesos de concedir-se el préstec.

El deute pendent coincideix amb el nominal del període, és a dir, el deute en qualsevol moment és igual al nominal. I la reserva és l'import que cancel·la el préstec, que en aquest moment és de 104.060,401€.

4. Finançament de promoció de pisos: préstec amb carència parcial

La promotora CasaHoy SA vol realitzar una promoció de pisos de protecció oficial a Barcelona. Per finançar el projecte necessita 1.500.000€, dels quals 300.000€ els aporta l'ajuntament i la resta ho finança a través d'un préstec amb les següents condicions:

• Nominal: 1.200.000 €. (= C)
• Termini total: 20 anys. (= t)
• Període de carència parcial: 2 anys. (n = 2 anys * 2 semestres = 4)
• Terme amortitzatiu semestral i constant (sistema francès).
• Tipus d'interès: 0,5% efectiu mensual. (I₁₂ = 0,005)

a) Calcula l'import del terme amortitzatiu, de la quota de capital i de la quota d'interès del sisè semestre des de la concessió del préstec.

Primer passem l'interès efectiu de I₁₂ = 0,005 a I₁ = 0,030377509 (interès semestral equivalent).

Ara calculem el terme amortitzatiu α:

Un cop tenim α, ja podem calcular la quota d'interès i la de capital:

Y₁ = C * I_m = 1.200.000 * 0,030378 = 36.453,6

A₁ = α - Y₁ = 55.274,6 - 36.453,6 = 18.821

Ara ja podem calcular A₆ i Y₆, que coincideixen amb el Y₂ i A₂ del préstec francès:

b) Calcula el deute pendent i la reserva matemàtica transcorreguts 5 anys i 3 mesos des de la concessió del préstec.

Utilitzem la reserva per calcular el deute pendent en el període 10 (40-10=30):

Ara calculem la reserva fins al mig període que ens falta:

c) Als 5 anys i tres mesos l'empresa decideix amortitzar 300.000€. Si el tipus d'interès del préstec canvia al 2% efectiu semestral, calcula el nou terme amortitzatiu.

Primer calculem el nou nominal restant-li 300.000 euros al resultat anterior, i amb el nou tipus d'interès apliquem la fórmula:

I calculem el mig període que falta:

PAC 5: Préstecs Financers II i Emprèstits

1. Reestructuració de préstec amb quotes de capital constants

Una empresa va sol·licitar fa 3 anys un préstec de nominal 120.000 € amortitzable mitjançant el pagament de 24 termes amortitzatius trimestrals amb quotes d'amortització de capital constants. Tipus d'interès de l'operació del 6% anual capitalitzable trimestralment.

Avui, l'empresa ha pogut pagar el terme amortitzatiu corresponent però preveu que durant el proper any tindrà dificultats de tresoreria i per això pacta amb l'entitat financera allargar en un any més el termini previst del préstec. A més, durant el proper any només pagarà trimestralment la quota d'interès.

Paràmetres:

• C = 120.000
• n = 24
• I₄ = 0,015

a) Calculeu l'import del terme amortitzatiu, de la quota de capital i de la quota d'interès que l'empresa ha pagat avui mateix.

El préstec descrit es caracteritza perquè la quota de capital és constant en cada període i, com a conseqüència, el terme amortitzatiu és decreixent, sent la seva variació lineal.

A partir de les variables conegudes podem calcular l'import de la quota d'amortització i la primera quota d'interès.

A = C/n = 5.000

Y₁ = C * I_m = 1.800

Ara calculem h: h = -A * I_m = -75

Ara calculem Y₁₂: Y₁ + h * (12-1) = 975

Ara calculem el terme amortitzatiu: α = A + Y₁₂ = 5.975

b) Calculeu l'import de la quota d'interès trimestral que l'empresa pagarà durant el proper any.

Calculem la reserva a la quota 12: Reserva₁₂ = C - 12A = 60.000

Ara calculem la quota d'interès per al proper any: Y = 60.000 * I_m = 900

c) Calculeu l'import de l'últim terme amortitzatiu que l'empresa pagarà d'aquí a 4 anys. Sense realitzar càlculs addicionals, raoneu si aquest import serà superior, inferior o igual al del terme amortitzatiu que s'hagués pagat si no s'hagués allargat el termini del préstec.

Paràmetres:

• c = 60.000
• n = 12

A = C/n = 5.000

Y₁ = C * I_m = 900

Ara calculem h: h = -A * I_m = -75

Ara calculem Y₁₂: Y₁ + h * (12-1) = 75

Ara calculem el terme amortitzatiu: α = A + Y₁₂ = 5.075

L'import serà inferior, ja que el capital pendent d'amortitzar és menor i, per tant, els interessos generats també ho seran.

d) Plantegeu l'equació de la qual es dedueix el tant efectiu prestatari tenint en compte que en el moment de la concessió del préstec l'empresa va pagar unes comissions d'obertura i estudi del 0,75% sobre el nominal i unes despeses notarials i impostos de 3.000 €. Expliqueu quines són les diferències entre el tant efectiu prestatari i la TAE del préstec.

Paràmetres:

• Comissió d'estudi: G_0,1 = 0,75% * 120.000 = 900
• Impostos: G_0,2 = 3.000

Prestació: (120.000, 0)

Contraprestació: {(3.900, 0); (120.000, 6)}

El tant efectiu prestatari inclou totes les despeses i comissions que el prestatari paga per obtenir el préstec, mentre que la TAE és un indicador estandarditzat que permet comparar el cost real de diferents productes financers, incloent-hi interessos i algunes comissions, però no totes les despeses (com les notarials o d'impostos que no són a favor del prestador).

2. Operacions financeres de l'empresa TOTSA: lletres, pagarés i préstec

L'empresa TOTSA, per poder efectuar el pagament de la nova maquinària adquirida, realitza avui les següents operacions:

• Ven 10 lletres del Tresor que vencen d'aquí a 410 dies. Segons publica el Banc d'Espanya, el tant d'interès obligacionista o rendiment intern mitjà d'aquestes lletres és del 2,10% anual.
• Ven 5 pagarés de l'empresa ENESA, de nominal 3.500 € que vencen d'aquí a 85 dies. El mercat de deute privat publica que el tant d'interès obligacionista o rendiment intern mitjà d'aquests pagarés és del 2,90% anual.
• Sol·licita un préstec de nominal 90.000 € amortitzable en 5 anys, mitjançant el pagament de termes amortitzatius mensuals i creixents cada mes en un 0,75% acumulatiu. Tipus d'interès del 9% anual capitalitzable mensualment.

a) Calculeu el preu d'una lletra, avui, en el mercat de deute públic.

La lletra del Tresor té un valor nominal de 1.000€ i venciment de 18 mesos.

Paràmetres:

• c = 1.000
• n = 410/360

El preu de compra se suposa que és el mateix que el preu d'emissió. Es tracta de calcular-ho mitjançant el règim financer d'interès compost:

b) Calculeu el preu d'un pagaré, avui, en el mercat de deute privat.

El pagaré té un valor nominal de 700€, vencen a 85 dies.

Apliquem la mateixa fórmula de l'interès compost tenint en compte que n = 85/365:

c) Respecte al préstec:

Es tracta d'un préstec amortitzatiu amb termes amortitzatius variables en progressió geomètrica. Primer hem de calcular q: q = 1 + I_m = 1,0075

Paràmetres:

• c = 90.000
• n = 12 * 5 = 60
• i₁₂ = 0,09 → I₁₂ = 0,0075

c1) Calculeu l'import del primer terme amortitzatiu que TOTSA haurà de pagar.

= 1.511,25

c2) Calculeu l'import que rescindeix el préstec als 12 mesos de la seva concessió.

En r = 12 → α_r+1 = α₁₃ → α₁₃ = α₁ * q^r-1 = 1.511,25 * 1,0075^13-1 = 1.653,01

Ara calculem la reserva per calcular l'import:

c3) Calculeu l'import del terme amortitzatiu que haurà de pagar en el mes 13 si d'aquí a un any, després del pagament del terme amortitzatiu corresponent, TOTSA realitza una amortització extraordinària de capital de 6.000 € i es mantenen la resta de les condicions inicials del préstec.

En R12 fa una aportació extraordinària de capital de 6.000 euros: 78.754,1 - 6.000 = 72.754,1. El nou C = 72.754,1. n = 60 - 12 = 48

= 1.527,08

3. Emissió d'obligacions: càlculs per emissor, subscriptor i obligacionista

Fa 4 anys l'empresa AUTNOR va realitzar una emissió d'obligacions que les seves característiques, definides en les condicions de l'emissió, són les següents:

• Nombre d'obligacions emeses: 200.000 (= N)
• Nominal de cada obligació: 1.000 €/títol. (= C)
• Termini total de l'operació (venciment): 10 anys. (= t)
• Tipus d'interès anual de l'emissió: 5,25% (= I^e_i)
• Cupó anual i vençut.
• Emissió a la par. (El preu de l'emissió coincideix amb el nominal del títol: P_e = 1.000)
• Amortització sobre la par: 10 €/títol. (= P_a)
• Despeses a càrrec de l'emissor pagades en el moment de l'emissió: 30.000 €. (G^e₀)

Càlculs previs:

= 1.000 * 0,0525 = 52,5 euros/títol

= 1.000 + 10 = 1.010 euros/títol

a) Plantegeu l'equació que permet obtenir el tipus efectiu anual emissor i obtenir el seu valor.

Prestacions: En el moment de l'emissió, l'emissor rep 200.000 * 1.000 = 200.000.000€.

Contraprestacions: Són les despeses. A l'inici té les despeses d'emissió, paga el cupó de 52,5 €/títol * 200.000 = 10.500.000€ (renda constant durant 10 anys), amortitzacions dels títols durant 10 anys: 200.000 * 1.010 = 202.000.000€.

Prestacions: (200.000.000, 0)

Contraprestacions: (30.000, 0); (10.500.000, R) (Renda constant); (202.000.000, 10) (Valor actual)

b) Plantegeu l'equació que permet obtenir el tipus anual subscriptor si el títol es manté fins al venciment.

Prestacions: Preu d'adquisició = 1.000€

Contraprestacions: Cobrament del cupó = 52,5€, i el preu d'amortització final = 1.010€

Prestacions: (1.000, 0)

Contraprestacions: (52,5, r); (1.010, 10)

c) Plantegeu l'equació que permet obtenir el tipus efectiu anual obligacionista si el títol s'adquireix avui per 990 € i es manté fins al venciment.

Prestacions: Preu d'adquisició = 990€

Contraprestacions: Cobrament del cupó: 52,5€ durant 6 anys, i amortització durant 6 anys = 1.010€

Prestacions: (990, 0)

Contraprestacions: (52,5, 6); (1.010, 16)

d) Calculeu el preu teòric d'un títol avui, si el tipus d'interès de mercat és el 4 % efectiu anual. En quin cas el preu teòric d'un títol serà menor que el seu nominal?

El preu teòric d'un títol avui s'obté calculant el valor financer en r=4, V₄, del conjunt de cobraments que genera el títol al seu obligacionista a partir de r=4, suposant que el tipus d'interès és I^v₁ = 0,04.

Paràmetres:

• Moment de valoració: r = 4
• Cupons pendents: n - r = 10 - 4 = 6
• Tipus d'interès: I^v₁ = 0,04

Cobraments que rep l'obligacionista a partir de r=4:

El preu teòric serà menor quan l'interès de valoració sigui superior al tipus d'interès d'emissió del 5,25%.