Anàlisi i Predicció de Sèries Temporals en Economia

Anàlisi i Predicció de Sèries Temporals

Resultats dels Contrastos

A partir d'aquest gràfic (no inclòs), quins creus que serien els resultats dels contrastos de Daniel i de Kruskal-Wallis? (0.5 punts)

Nota: els valors a taules associats a un nivell de significació del 5% són, per a la normal, 1.96, i per a la khi-quadrat, 19.67.

La sèrie presenta tendència, però no component estacional segons el gràfic. Considerant l'IPC, no hi ha un mes en què els preus de l'alimentació baixin constantment any rere any. Per tant, es tracta d'una sèrie tipus III només amb tendència. En conseqüència, el contrast de Daniel ha de permetre rebutjar la hipòtesi nul·la de no significativitat de la tendència i, per tant, ha de donar un valor superior a 1.96. Al contrari, el contrast de Kruskal-Wallis no ha de rebutjar la hipòtesi nul·la de no significació de l'estacionalitat i, per tant, ha de donar un valor inferior a 19.67.

Mètodes de Predicció

Quins serien els mètodes de predicció més adients? (0.5 punts)

Per a una sèrie tipus III (amb tendència lineal):

• Tendència lineal.
• Dobles mitjanes mòbils.
• Allisat exponencial de Holt.

Elecció del Mètode

Per quin d'aquests mètodes t'acabaries decidint? Raona la teva resposta. (0.5 punts)

Escolliria el mètode que doni els errors quadràtics mitjans (EQM) més petits. Caldria fer les prediccions amb tots els mètodes, provant diverses constants d'allisament i mides de la mitjana mòbil, i quedar-se amb el mètode que minimitzi l'EQM per garantir la màxima bondat de l'ajust.

Desestacionalització

Explica en què consisteix la desestacionalització. Quan la duem a terme i per què? Posa un exemple de dues sèries reals amb component estacional. (1 punt)

La desestacionalització s'aplica per aïllar la tendència a llarg termini i analitzar les previsions del comportament a llarg termini d'una sèrie. Quan la sèrie té component estacional, aquest pot emmascarar el comportament a llarg termini. En treure'l, obtenim una visió global i evitem previsions incorrectes "contaminades" per l'evolució a curt termini. Exemples:

• Venda de torrons: Estacionalitat positiva al darrer trimestre de l'any per l'augment de la demanda.
• Índex de Producció Industrial (IPI): Estacionalitat negativa a l'agost per les vacances.

Predicció amb Dobles Mitjanes Mòbils

Per obtenir prediccions sobre l'evolució de les vendes d'una empresa s'ha emprat el mètode de les dobles mitjanes mòbils amb k = 2. Sabent que per a l'any 2007 (darrer període mostral) la mitjana mòbil ha estat de 38.9 i la doble mitjana mòbil de 37, calcula les prediccions per als anys 2008, 2009 i 2010. (0.5 punts)

Primer, estimem la tendència i el pendent per a l'any 2007:

T̂₂₀₀₇ = 2MM₂₀₀₇ - MM'₂₀₀₇ = 2 * 38.9 - 37 = 40.8

β̂₁(2007) = MM₂₀₀₇ - MM'₂₀₀₇ = 1.9

Calculem les prediccions:

Ŷ₂₀₀₈ = T̂₂₀₀₇ + β̂₁(2007) = 40.8 + 1.9 = 42.7

Ŷ₂₀₀₉ = T̂₂₀₀₇ + 2β̂₁(2007) = 40.8 + 2 * 1.9 = 44.6

Ŷ₂₀₁₀ = T̂₂₀₀₇ + 3β̂₁(2007) = 40.8 + 3 * 1.9 = 46.5

Predicció amb Allisat Exponencial de Holt

A continuació, obté les prediccions per als anys 2008, 2009 i 2010 emprant el mètode de l'allisat exponencial de Holt amb α = 0.7 i γ = 0.2, sabent que: Y₂₀₀₇ = 45, T̂₂₀₀₆ = 42.6 i β̂₁(2006) = 0.9. (0.5 punts)

Estimem la tendència i el pendent per a l'any 2007:

T̂₂₀₀₇ = αY₂₀₀₇ + (1 - α)(T̂₂₀₀₆ + β̂₁(2006)) = 0.7 * 45 + 0.3 * (42.6 + 0.9) = 44.55

β̂₁(2007) = γ(T̂₂₀₀₇ - T̂₂₀₀₆) + (1 - γ)β̂₁(2006) = 0.2 * (44.55 - 42.6) + 0.8 * 0.9 = 1.11

Calculem les prediccions:

Ŷ₂₀₀₈ = T̂₂₀₀₇ + β̂₁(2007) = 44.55 + 1.11 = 45.66

Ŷ₂₀₀₉ = T̂₂₀₀₇ + 2β̂₁(2007) = 44.55 + 2 * 1.11 = 46.77

Ŷ₂₀₁₀ = T̂₂₀₀₇ + 3β̂₁(2007) = 44.55 + 3 * 1.11 = 47.88

Comparació de Mètodes

Posteriorment, s'ha sabut que les vendes de l'empresa els anys 2008, 2009 i 2010 han estat de 46, 48.5 i 50.5, respectivament. Quin dels dos mètodes ha proporcionat millors prediccions? Són bones aquestes prediccions? Justifica la teva resposta. (0.5 punts)

Calculant l'Error Percentual Absolut Mitjà (EPAM):

EPAM (Dobles Mitjanes Mòbils) = 2.20%

EPAM (Allisat Exponencial de Holt) = 3.16%

El mètode de les dobles mitjanes mòbils proporciona millors prediccions. Un EPAM del 2.2% es considera força bo (entre 1% i 3%).

Anàlisi de Correlogrames

A continuació, tens uns possibles correlogrames de la FAS i la FAP de la sèrie mensual de facturació de l'empresa GOSA entre els anys 2000 i 2010, corresponents a les transformacions (1-L)Y_t i (1-L)(1-L¹²)Y_t. A partir d'aquesta informació (no inclosa), proposa el model més probable que segueix la sèrie, argumentant la resposta. (1 punt)

Observant els correlogrames (no inclosos), la sèrie inicial no és estacionària en mitjana, ja que la FAS decreix lentament i el primer valor de la FAP és proper a 1. La diferenciació regular la fa estacionària en mitjana, tant en la part regular com en l'estacional. Per tant, la diferenciació estacional és innecessària. El model més probable és un AR(1) per la part regular. La part estacional és més complexa, podent ser un AR(1), MA(1) o ARMA(1,1), i es decidiria durant la validació. Una primera opció seria un SARIMA(1,1,0)x(1,0,0)₁₂.

Correlacions

Basant-te en el model anterior, contesta de forma aproximada les següents qüestions, centrant-te en les correlacions que inclouen els retards intermitjos. (1 punt)

a) Quina és la correlació entre la facturació del mes de gener de l'any 2005 i la del mes de gener de l'any 2006? -0.4

b) Quina és la correlació de la facturació entre els mesos de juny i setembre del 2010? +0.35

c) Quina és la correlació entre la facturació del mes de gener de l'any 2010 i la del mes de març de l'any 2009? 0

d) Quina és la correlació entre la facturació dels mesos de juny de 2005 i juny del 2003? 0