Anàlisi de Funcions Matemàtiques: Domini, Punts de Tall, Derivades i Continuïtat

Anàlisi de la Funció F(x) = (x²+x)²

A) Domini i Punts de Tall

El domini de la funció F(x) = (x²+x)² és tot el conjunt dels nombres reals (Dom = R), ja que és una funció polinòmica.

Punts de Tall

• Amb l'eix de les x (y=0):

0 = x⁴ + 2x³ + x²

0 = x²(x² + 2x + 1)

0 = x²(x + 1)²

Les solucions són x = 0 i x = -1.

Per tant, els punts de tall amb l'eix de les x són (-1, 0) i (0, 0).

F(0) = (0² + 0)² = 0

El punt de tall amb l'eix de les y és (0, 0).

B) Asimptotes

Com que la funció és polinòmica, no té asimptotes.

C) Derivada i Punts Crítics

La funció és F(x) = x⁴ + 2x³ + x².

La seva primera derivada és F'(x) = 4x³ + 6x² + 2x.

Per trobar els punts crítics, igualem la derivada a zero:

F'(x) = 0 → 4x³ + 6x² + 2x = 0

2x(2x² + 3x + 1) = 0

Les solucions són x = 0 i les solucions de 2x² + 3x + 1 = 0.

Resolent l'equació quadràtica 2x² + 3x + 1 = 0 amb la fórmula general, obtenim x = -1/2 i x = -1.

Els punts crítics són x = -1, x = -1/2, i x = 0.

D) Màxims i Mínims

• Màxim local en x = -1/2:

F(-1/2) = ((-1/2)² + (-1/2))² = (1/4 - 1/2)² = (-1/4)² = 1/16

El punt màxim local és (-1/2, 1/16) o aproximadament (-0.5, 0.06).

F(-1) = ((-1)² + (-1))² = (1 - 1)² = 0

El punt mínim local és (-1, 0).

F(0) = (0² + 0)² = 0

El punt mínim local és (0, 0).

E) Creixement i Decreixement

• La funció creix en els intervals (-1, -1/2) i (0, +∞).
• La funció decreix en els intervals (-∞, -1) i (-1/2, 0).

Anàlisi de la Funció Definida a Trossos

F(x) = ⌊ -x² - 2x + 3 , si 0 < x < 1 ⌋

⌊ x - 1 , si 1 ≤ x ≤ 3 ⌋

A) Continuïtat

• La funció f(x) = -x² - 2x + 3 és contínua en l'interval [0, 1) per ser polinòmica.
• La funció f(x) = x - 1 és contínua en l'interval (1, 3] per ser polinòmica.
• Per comprovar la continuïtat en x = 1:
  • f(1) = 1 - 1 = 0. El punt és (1, 0).
  • Límit quan x tendeix a 1 per la dreta (x → 1⁺): lim (x - 1) = 1 - 1 = 0.
  • Límit quan x tendeix a 1 per l'esquerra (x → 1⁻): lim (-x² - 2x + 3) = -(1)² - 2(1) + 3 = -1 - 2 + 3 = 0.

Com que els límits laterals coincideixen amb el valor de la funció en x=1, la funció és contínua en x = 1 i, per tant, contínua en tot l'interval [0, 3].

B) Derivada i Punts Crítics

La derivada de la funció per trossos és:

f'(x) = ⌊ -2x - 2 , si 0 < x < 1 ⌋

f'(x) = ⌊ 1 , si 1 < x < 3 ⌋

• En l'interval (0, 1), la derivada -2x - 2 no s'anula, per tant, no hi ha punts crítics en aquest interval.
• En l'interval (1, 3), la derivada 1 no s'anula, per tant, no hi ha punts crítics en aquest interval.

C) Creixement, Decreixement i Extrems

• La funció creix en l'interval (1, 3).
• La funció decreix en l'interval (0, 1).
• La funció presenta un màxim local en x = 0, amb valor f(0) = 3. El punt és (0, 3).
• La funció presenta un màxim local en x = 3, amb valor f(3) = 3 - 1 = 2. El punt és (3, 2).
• La funció presenta un mínim absolut en x = 1, amb valor f(1) = 0. El punt és (1, 0).

Anàlisi de la Funció Definida a Trossos (Continuació)

F(x) = ⌊ 2/x , si 1 ≤ x < 2 ⌋

⌊ 1 , si 2 ≤ x ≤ 3 ⌋

⌊ -x² + 6x - 8 , si 3 < x ≤ 4 ⌋

⌊ 0 , si 4 < x ≤ 5 ⌋

A) Continuïtat

• La funció f(x) = 2/x és contínua en [1, 2) ja que el denominador no s'anul·la en aquest interval.
• La funció f(x) = 1 és contínua en (2, 3] per ser una funció constant.
• La funció f(x) = -x² + 6x - 8 és contínua en (3, 4] per ser polinòmica.
• La funció f(x) = 0 és contínua en (4, 5] per ser constant.
• Estudiem la continuïtat en els punts de canvi:
  • En x = 2:
    • f(2) = 1. El punt és (2, 1).
    • Límit quan x → 2⁺: lim (1) = 1.
    • Límit quan x → 2⁻: lim (2/x) = 2/2 = 1.

La funció és contínua en x = 2.

• f(3) = 1. El punt és (3, 1).
• Límit quan x → 3⁺: lim (-x² + 6x - 8) = -(3)² + 6(3) - 8 = -9 + 18 - 8 = 1.
• Límit quan x → 3⁻: lim (1) = 1.

La funció és contínua en x = 3.

• f(4) = 0. El punt és (4, 0).
• Límit quan x → 4⁺: lim (0) = 0.
• Límit quan x → 4⁻: lim (-x² + 6x - 8) = -(4)² + 6(4) - 8 = -16 + 24 - 8 = 0.

La funció és contínua en x = 4.

Per tant, la funció és contínua en tot l'interval [1, 5].

B) Representació Gràfica

La representació gràfica de la funció es compon de diferents trams: una hipèrbola, una recta constant, una paràbola i una altra recta constant.