Anàlisi del Comportament de Materials Sòlids Elàstics: Guia Completa

1. A l'assaig de tracció d'una proveta, en què consisteixen les zones on el comportament del material és lineal, elàstic i plàstic?

La zona en què el comportament és lineal és aquella en la qual la força es regeix per la llei de Hooke, cosa que implica que la tensió és proporcional al desplaçament que pateix el sòlid.

En el moment en què el comportament és elàstic, la relació deixa de ser lineal. Tot i així, si es deixa d'aplicar força i la tensió desapareix, el cos torna a la seva forma original. A aquest efecte en diem deformació elàstica. Aquesta deformació es caracteritza per no ser permanent.

En canvi, en el moment en què el comportament és plàstic, si deixem d'aplicar la tensió, el sòlid es queda amb la forma que ha adoptat després de la deformació. A aquesta deformació l'anomenem plàstica.

Aquesta deformació plàstica es produeix quan, en aplicar una força a un cos sòlid, les partícules d'aquest es desplacen lliscant les unes contra les altres. En el cas de les deformacions elàstiques, però, aquest lliscament no es produeix, tot i que sí que hi ha desplaçaments de la zona d'equilibri.

2. Què diu la llei de Hooke?

Que la tensió és proporcional al desplaçament multiplicat pel mòdul de Young. σ=E*ε

- En quin tipus de comportament del material es compleix?

Es compleix en aquells materials simètrics que tenen la mateixa constant per a la compressió que per a la tracció, com per exemple els metalls.

- I, com es pot generalitzar al cas d'estats de tensió tridimensionals?

Primer cal que el material del qual està fet el sòlid sigui isòtrop. Després, cal que ens trobem dins de la zona on el comportament del material és lineal. Només d'aquesta manera podrem aplicar el principi de superposició. Un cop hem fet això, podem determinar la deformació d'una biga sotmesa a tensió des de x, y i z. Aquestes deformacions són la diagonal principal de la matriu deformació ja diagonalitzada. Aquesta és la llei de Hooke generalitzada.

3. Quin plantejament es fa per tal d'establir les equacions d'equilibri d'un sòlid elàstic?

En el plantejament de l'equilibri d'un sòlid rígid fem: ΣFexternes=0 i ΣM=0. En canvi, en el moment que plantegem aquest problema per a un sòlid elàstic, aquestes condicions s'han de complir tenint en compte les forces internes de cada element infinitesimal del mateix sòlid. El resultat de fer aquests sumatoris són les equacions d'equilibri.

4. Per què el tensor deformació ha de complir les condicions de compatibilitat?

El tensor deformació té sis components (deformacions longitudinals i deformacions transversals). Aquest tensor l'obtenim del camp de desplaçaments que té tres components. Si el tensor deformació compleix les condicions de compatibilitat, implica que és integrable i, per tant, que en podem trobar un camp de desplaçaments.

5. Quines són les incògnites del problema elàstic?

Els sis components del tensor tensió i els sis components del tensor deformació. A més a més, necessitem els desplaçaments que pateix el cos, que en són 3. (En total en són 15)

Una característica que tenen aquestes incògnites és que no són independents entre elles. Si tenim el desplaçament, podem calcular la deformació a partir de les derivades parcials. Un cop tenim la deformació, si ens trobem en el comportament lineal del material, podem utilitzar la llei de Hooke per així trobar la tensió.

- Quines són les equacions que han de complir aquestes incògnites?

Les equacions d'equilibri, les de compatibilitat i les que relacionen les tensions i les deformacions (la llei de Hooke generalitzada).

- La solució del problema elàstic és única?

Aquesta és una pregunta ambigua. Si agafem un sòlid en concret i li apliquem una força en concret, la tensió i deformació serà única. Tot i així, no podem assegurar que abans no hi haguessin tensions, per això, en el moment d'aplicar aquesta força se li pot aplicar qualsevol altre estat de tensió. Passa igual que amb les integrals, si en busquem la primitiva sempre en tenim una de

«bàsica», que equivaldria a aplicar una força en un cos en repòs total sense tensions internes, i infinites primitives a les quals podem sumar constants, que equivaldria al sòlid que té un estat de tensió i que no és degut a forces externes. Això ens ho podem trobar, per exemple, en un objecte que s'ha construït, com una peça fabricada per fosa, degut al refredament desigual en les diferents parts de la peça a l'hora de refredar-lo en el motlle (Exemple: roda de fosa. Si la fem com al dibuix de la dreta, com que l'exterior es refreda abans que l'interior es trenca. En canvi, si el fem com el dibuix de la dreta, en refredar-se es contrau el material i simplement queda més ferm, no es trenca).

6. Com s'arriba al plantejament del problema elàstic en funció dels desplaçaments?

En plantejar les equacions d'equilibri no posem com a incògnites les tensions, sinó els desplaçaments. Per tant, només hem d'utilitzar les relacions entre tensions i deformacions i saber que el tensor deformació es pot posar en funció dels desplaçaments integrant.

- Què és plantejar el problema elàstic en funció dels desplaçaments?

En lloc d'utilitzar les 15 incògnites, fer que totes siguin en funció dels desplaçaments. Per tant, escric les deformacions en funció dels desplaçaments i les tensions en funció d'aquests. (Power: Plantejament i solució del problema elàstic directe)

7. En quin cas el resultat d'integrar el problema elàstic pel mètode dels elements finits és el resultat exacte?

Quan la solució és una equació lineal, el resultat serà exacte, ja que estem aproximant una funció lineal a una funció lineal.

Hi ha altres casos que el resultat pot ser exacte, si utilitzem algun programa de càlcul d'elements finits.

- En què es basa el mètode d'elements finits?

Dividim el sòlid en elements petits finits i, en plantejar les equacions de desplaçament, suposem que aquestes són lineals.

8. Quins tipus d'errors apareixen quan se soluciona el problema elàstic pel mètode dels elements finits?

Com que en utilitzar aquest mètode el que fem és aproximar el problema a una funció lineal. A més a més, els elements són finits i, per tant, es crea un error: l'error de discretització i l'error d'arrodoniment.

- Augmenten o disminueixen en disminuir la mida dels elements?

En disminuir la mida dels elements, disminueix l'error de discretització i augmenta l'error d'arrodoniment.

- Per què?

Perquè com més petits són els elements, més s'aproxima a un càlcul en elements infinitesimals, per tant, les funcions lineals cada cop tenen menys recorregut i s'assemblen més a la funció real. L'error d'arrodoniment, en canvi, apareix per l'efecte de la coma flotant. Si arrodonim un nombre i anem fent multiplicacions amb aquests nombres arrodonits, l'error va creixent en cada multiplicació.

Arriba un punt en què els errors són massa grans i aquest càlcul no és factible. Per això ho fem en elements finits i no infinits.

9. Quina és la hipòtesi en la qual es basa el criteri de fallada de Tresca?

Els criteris de fallada són criteris per decidir si un material aguanta cert estat de tensió o no. Una manera indiscutible de saber si un material aguanta en tots els seus punts unes tensions o no, és tenir un cos real en tres dimensions i observar la regió en la qual el material conserva la seva forma i la regió en la qual perd aquesta forma original. Fer això és complicat, s'ha intentat amb alguna màquina d'assaig, a la pràctica no es fa servir, de moment, es fan servir criteris simplificats. En aquests criteris simplificats suposem que la regió d'aquest espai en la qual el material aguanta té una forma geomètrica senzilla i no és un cos en tres dimensions més complex.

El criteri de fallada de Tresca es basa en trobar una tensió equivalent a la tensió tallant màxima que, en l'assaig de tracció, suportaria el sòlid. Si agafem el cas d'un assaig de tracció simple, la tracció màxima és la meitat de la tensió tallant. El criteri de Tresca diu que la tensió equivalent és igual a la tensió tallant màxima multiplicada per 2.

τmax=Max[(σ1-0)/2, (σ1-0)/2, (0-0)/2] = σ1/2 ; σeq=2·τmax= σ1

Un cop tenim aquesta tensió equivalent, la comparem amb el límit elàstic del material, que s'ha trobat en un assaig de tracció. Si la tensió equivalent supera aquest límit elàstic, aleshores trobem que el sòlid falla. Si la tensió equivalent no supera el límit elàstic, el material no falla.

Evidentment, quan dissenyem una peça necessitem que conservi la forma al llarg del temps, per tant, si pateix deformacions, deixa de ser útil. Molts materials, però, quan pateixen tensions per sobre del límit elàstic i es generen deformacions plàstiques, la tensió del límit elàstic augmenta. En ocasions, utilitzem aquest fenomen en construir una peça que, per les característiques del material no podria aguantar una tensió ja que està per sobre del límit elàstic, però si la creem de manera que la forma que necessita la peça per ser útil es creï fent una deformació en fred, farem que el límit elàstic sigui més gran i el sòlid pugui aguantar una major tensió.

- I el de Von Misses?

Quan tenim un estat tensió es pot separar en dos estats tensió diferents, un on els tres components de la diagonal principal de la matriu diagonalitzada sigui una tensió σm i un altre que sigui la resta del tensor original menys el tensor que acabem de crear. Aquest primer tensor que té tots els components iguals (els de la diagonal) observem que no afecta, en termes d'energia, als nostres càlculs, doncs no estem emmagatzemant energia, ja que es produeix la mateixa tensió en tots els eixos. En canvi, el segon tensor que trobem que s'emmagatzema aquella energia, energia de distorsió que fa que el material falli.

En la hipòtesi de Von Misses la tensió equivalent és aquella que en l'assaig de tracció provocaria la mateixa energia de distorsió que la que té el material en un estat de tensió. Aquesta tensió equivalent la calculem de la següent manera:

10. En quin tipus de materials són adequats els criteris de Tresca i de Von Misses i en quins no ho són?

Aquests criteris són adequats en els materials que són dúctils. Això s'explica de la següent manera: tant el criteri de Tresca com el de Von Misses suposen que el moment en què el sòlid falla, les capes de material per on el sòlid està fallant comencen a lliscar les unes contra les altres. En els materials que són fràgils, o sigui que no són dúctils, el trencament de la peça es dona abans que el lliscament de les capes i, si ho calculéssim, tant un criteri com l'altre ens donarien que les tensions equivalents són igual a zero i, per tant, que el material no fallaria mai.

11. En quina hipòtesi es basa el criteri de Culomb-Mor?

És l'oposat als dos criteris que hem vist anteriorment, es basa en què el material es trenca perquè se separen les capes entre si. Aleshores, si les capes del material se separen, el material falla, si no es separa, no falla.

- Per a quins tipus de materials serà adequat?

És útil pels materials fràgils. Si el material fos dúctil, les capes llisquen, no es separen, cosa que, segons Culomb-Mor significaria que el material no està fallant.

Quan es dissenyen productes utilitzem els criteris de Tresca i Von Misses però se li apliquen uns coeficients de seguretat. Aquests no són arbitraris ja que els criteris utilitzats per calcular la tensió amb la qual el material falla no representen la realitat en la totalitat.

12. Com es fa per decidir si un material serà capaç de suportar un estat de tensió determinat emprant el criteri de Von Misses?

Calculem el seu estat de tensió, a cada punt calculem la tensió equivalent i, si aquesta no supera el límit elàstic, el material no falla. En cas contrari, el material falla.

13. Per què les peces que estan sotmeses a càrregues variables poden suportar menys càrrega que les que estan sotmeses a càrrega fixa?

Això es deu a l'efecte per fatiga. Una peça sotmesa a una càrrega fixa, si s'ha de trencar per una esquerda o cavitat minúscula ho farà en el moment en què s'apliquen les tensions. Amb una càrrega variable aquestes cavitats es van fent més i més grans fins que es trenquen.

14 Expliqueu com es produeix el trencament d'una peça a fatiga.

Quan tenim un sòlid que és perfecte, una peça que l'acabat no tingués rugositat, no hagués patit cap cop en el seu ús, s'hagués fet de forma perfecte i sense estar malmesa, no existiria la fatiga d'aquesta peça. Com que un sòlid així és molt difícil d'aconseguir, per no dir impossible, les peces tenen petites imperfeccions, diminutes, que causen aquest efecte de fatiga.

Aquest efecte es dona quan les petites cavitats que hi ha en un material es sotmeten a compressió. En aquell moment la tensió que està suportant el vèrtex de la cavitat és molt més gran que la tensió mitja que suporta la peça en general i supera de llarg el límit elàstic del material, això fa que quan es sotmet la peça a tracció aquesta cavitat es faci més gran. Amb cada compressió i tracció aquesta cavitat s'anirà fent més gran, creant una esquerda i, finalment, trencant la peça.

Per altra banda, si la tensió que hi ha en la cavitat és molt petita en comparació a la tensió mitja de la peça, es diu que l'objecte té vida infinita.

15. Què són les ones elàstiques?

Les ones elàstiques són el resultat de la propagació del canvi de les forces puntuals que actuen sobre una peça. Això vol dir que, si tenim un cos sòlid elàstic que està sotmès a una força i aquesta és variable, depenent de la velocitat de variació de la força apareixen unes ones elàstiques que fan variar la força en tots els punts del sòlid d'una manera retardada.

- Per què es produeixen?

Es produeixen per aquesta variació de la força que està aplicada a l'objecte. Imaginem-nos una barra que en un dels seus extrems està sotmesa a una força. Si aquesta força varia d'una manera ràpida i significant, observem que les tensions a l'inici de la barra han canviat, però al final de la barra no. Al cap d'un temps, que poden ser nanosegons, el final de la barra ha canviat l'estat de tensió. Això vol dir que la variació de la força s'ha propagat amb una certa ona elàstica.

És un exemple semblant al del pèndol de moviment perpetu. Aquestes ones, però, només es creen si el canvi de forces és ràpid. En cas contrari, si la força varia de manera lenta el que veiem és una deformació de l'inici de la barra però no del final, ja que no es propaga cap tipus d'ona.

16. Què són els modes propis de vibració?

Si tenim una barra finita en la qual hi ha ones elàstiques, apareix la vibració. Com que els extrems de les barres han d'estar quiets, el seu desplaçament ha de ser zero, es creen els modes propis de vibració.

- Per què es produeixen les vibracions a les peces? Quina relació hi ha entre les vibracions i les ones elàstiques?

Quan un material té uns límits, com per exemple una barra finita, en propagar-se l'ona elàstica i en arribar a aquests límits de la peça, l'ona acaba rebotant per inèrcia. Per entendre-ho cal que pensem en què l'ona elàstica s'està desplaçant pel material i, quan arriba a l'extrem del material el que fa és que la barra vulgui seguir movent-se, però com que és una barra sòlida, la unió de les partícules fa que el material retorni, creant una ona elàstica reflectiva, igual que la que ha arribat a l'extrem anteriorment. El solapament d'aquestes ones, les enviades i les rebotades, creen les vibracions.

Aquestes vibracions són infinites, podem dividir l'espai que té un cos en nombres naturals i fer que el cos vibri en aquell mode. Com més gran és la freqüència de l'ona, més ràpidament es produeix la vibració. Degut a la viscositat dels materials com més gran és la freqüencial més ràpidament es dissipa la vibració. Per això les peces semblen que només vibrin en els primers modes, perquè els de més alta freqüencial es dissipen abans.

17. Quines condicions compleix el tensor tensió d'una peça sotmesa a torsió pura?

Ha de complir les condicions d'equilibri i les condicions de compatibilitat.

18. Què és el fenomen del vinclament?

Apareix quan la deformació de la peça fa que hi hagi un canvi en el punt d'aplicació de la força, que fa que canviï l'estat de tensió i deformació de la peça. Aquest fenomen apareix quan una barra molt llarga està sotmesa a compressió i, per un cop, un error de fabricació, o qualsevol problema que pugui haver, té un desplaçament lateral que fa variar el punt d'aplicació de la força. Si arribem a un equilibri en què la barra ja no es deforma més no hi ha problema, però pot passar que no pari de deformar-se i es trenqui.

19. Com es determina el criteri d'Euler per saber si una peça vincla?

Calculem el límit en què la tensió lateral, que fa que el cos es plegui, tendeix a zero.

Si l'energia que es perd desplaçant el cos cap avall és més gran que la que fa que es mogui?

- És adequat aquest criteri en aplicacions mecàniques?

NO

- Per què?

És un criteri molt optimista, dona per suposat que es produeix només en una força centrada de manera perfecta. Si aquesta columna estigués ja deformada aquest Euler no funciona. Utilitzem en la realitat un coeficient de seguretat.

20. Com es dimensiona una peça per prevenir el fenomen del vinclament?

Agafem la peça que volem mirar i li apliquem una força a compressió, després li apliquem una força longitudinal, que provocarà un desplaçament, ara si tornem a aplicar la força a compressió es generarà un moment. Tornem a agafar la barra de l'inici i li apliquem la força lateral i el moment. Seguirem fent això fins que el deformement de la peça sigui gairebé nul. Aleshores haurem trobat un punt en què no hi ha més vinclament.