Anàlisi del Comportament dels Materials: Preguntes i Respostes

1) Assaig de tracció d'una proveta

En l’assaig de tracció d’una proveta, les zones on el comportament del material és lineal, elàstic i plàstic es poden identificar de la següent manera:

• Zona lineal: És la zona on les deformacions són proporcionals a les tensions.
• Zona elàstica: És la zona en la qual, al deixar d'aplicar les forces sobre un sòlid deformat, aquest recupera la seva forma original.
• Zona plàstica: És aquella en què el material no recupera la forma original després de l'aplicació de les forces.

2) Què diu la llei de Hooke?

La llei de Hooke afirma que les tensions i les deformacions són proporcionals. Es compleix sempre que un material es troba en la zona de comportament lineal. Podem generalitzar plantejant tres estats de tensió perpendiculars entre ells i superposant les deformacions en els punts on coincideixen aquestes tres tensions. Així, podem establir la relació entre la matriu tensió i la matriu deformació.

3) Plantejament per establir les equacions d'equilibri

Agafem un cub infinitesimal centrant les seves arestes en un punt i establim que la suma de forces ha de ser 0. Les forces són: les tensions que la resta del material fa sobre les sis cares del cub i la força sobre el volum que agafa a causa de la gravetat, camps magnètics, força centrífuga, etc.

4) Condicions de compatibilitat del tensor deformació

Les condicions de compatibilitat garanteixen l'existència d'un camp de desplaçaments compatible amb les deformacions calculades.

5) Incògnites del problema elàstic

Incògnites: Les tres components del camp de desplaçaments, les sis components del tensor deformació i les sis components del tensor tensió.

Equacions: Les tres equacions d’equilibri, les sis equacions que relacionen les tensions amb les deformacions i les sis equacions de compatibilitat.

6) Plantejament del problema elàstic en funció dels desplaçaments

A través de les equacions constitutives de Lamé, passem les equacions d'equilibri intern en funció de tensions a equacions d'equilibri intern en funció de les deformacions. Després definim el camp del tensor deformació, que relaciona les deformacions amb el desplaçament, i passem les equacions d'equilibri en funció de les deformacions a equacions d'equilibri en funció dels desplaçaments.

7) Energia elàstica per unitat de volum

En l’expressió de l’energia elàstica per unitat de volum, el producte de les tensions per les deformacions es multiplica per un factor de ½ perquè la deformació es produeix a base d'aplicar les forces progressivament. Les tensions van provocant deformacions i cada vegada que una tensió provoca una deformació, es necessita un treball que provoca les forces exteriors. Aquestes forces creixen de forma lineal des de 0 fins al valor final, per tant, queda una àrea triangular. D'aquí ve el 1/2, ja que el treball serà la meitat de la tensió màxima per la deformació final.

8) Integració de les equacions del problema elàstic

Primer es caracteritzen les funcions a partir del criteri de simetria i de les condicions de contorn. Aleshores es planteja la resolució de l'equació d'equilibri. Per cada element del material, es té una acceleració, que és una força de volum que ha de ser la derivada de la tensió en la direcció de l'acceleració. A partir d'integrar aquesta equació, es van desenvolupant les altres tensions i, amb les fórmules de Lamé, es calculen les deformacions, que, una vegada integrades, donen els desplaçaments.

9) Càlcul de la força màxima en un impacte elàstic

La força màxima es troba quan l'acceleració és màxima; en aquest moment, la velocitat és zero. A partir d'aquí, es calcula l'energia elàstica (tensor tensió i tensor deformació). El tensor tensió està en funció de l'acceleració i el tensor deformació està en funció del tensor tensió. Es multipliquen les components del tensor tensió per les del tensor deformació i es divideix entre dos, trobant la densitat d'energia elàstica. Si es multiplica pel volum, es troba l'energia elàstica. Una vegada es té l'acceleració, es pot substituir a la fórmula de la tensió en la cara de contacte integrada en la superfície i es troba la força.

10) Resultat exacte en integrar el problema elàstic

El resultat d’integrar el problema elàstic pel mètode dels elements finits és exacte quan les funcions que defineixen els components del tensor deformació de l'objecte són lineals respecte de les coordenades x, y i z.

11) Forces virtuals en el mètode dels elements finits

En resoldre el problema elàstic pel mètode dels elements finits, es transforma el problema d’un sòlid continu sotmès a càrregues en un altre problema d’una estructura formada per sòlids discretes connectats entre ells pels vèrtex anomenats nodes. Les forces virtuals que cal aplicar a aquests vèrtex per provocar una determinada deformació a l’element es determinen expressant el desplaçament dels punts de l’interior de cada element en funció dels desplaçaments dels vèrtex. A partir d’aquí, es calculen les deformacions, les tensions i l’energia elàstica acumulada en l’element, tot en funció dels desplaçaments dels vèrtex. Aquestes forces no existeixen al sòlid perquè l’element no es deforma degut a forces aplicades als vèrtex sinó degut a tensions aplicades a les cares. És una bona aproximació en la mesura que les funcions que determinen els components del tensor deformació es poden aproximar per funcions que s’han establert a les regions de l’espai definides pels elements, per exemple, funcions lineals.

12) Tipus d'errors en el mètode dels elements finits

Els errors que apareixen quan se soluciona el problema elàstic pel mètode dels elements finits són errors de discretització i errors d’arrodoniment. Els de discretització disminueixen a mesura que es redueix la mida dels elements, ja que com més petits són, més s’aproxima la funció de desplaçaments que s’ha imposat a l’element a la funció de desplaçaments que en realitat es produeix al sòlid. Els d’arrodoniment augmenten a mesura que disminueix la mida dels elements, perquè com més petits són, més elements i més nodes hi haurà, augmentant quadràticament el nombre d’operacions a fer i cada operació provocarà un error d’arrodoniment.

13) Hipòtesis del criteri de fallada de Tresca i Von Misses

El criteri de Tresca diu que una peça resistent o un element estructural falla quan, en algun dels seus punts, la tensió tallant màxima és igual o superior a la tensió del límit elàstic del material de la peça dividit entre dos.

El criteri de Von Misses diu que una peça resistent o un element estructural falla quan, en algun dels seus punts, l'energia de distorsió per unitat de volum és igual o superior al quadrat de la tensió del límit elàstic del material dividit entre dues vegades l'energia total.

14) Materials adequats per als criteris de Tresca i Von Misses

Els criteris de Tresca i Von Misses són adequats per a materials dúctils que fallen per plastificació abans de trencar-se (com l'alumini) i no seran adequats per a materials fràgils que es trenquen abans de plastificar (com el vidre).

15) Hipòtesis del criteri de Culomb-Mor

El criteri de Culomb-Mor es basa en que el tall en un material es produeix per una combinació entre la tensió normal i la tensió tangencial. Com major sigui la tensió normal, major serà la tensió tangencial necessària per tallar el material. Aquest criteri és adequat per a materials en els quals la seva resistència a la compressió és molt superior a la resistència a la tracció (com els materials ceràmics).

16) Criteri de Von Misses per a la capacitat de suportar tensió

Per decidir si un material serà capaç de suportar un estat de tensió determinat emprant el criteri de Von Misses, cal calcular la tensió equivalent de Von Misses del material i comparar-la amb la tensió equivalent de Von Misses de l'assaig de tracció que provoca que el material es trenqui. Si la de l'assaig és inferior a la del material, aquest es trencarà; si, en canvi, la de l'assaig és superior a la del material, aquest no es trencarà.

17) Càrregues variables i fatiga

Les peces que estan sotmeses a càrregues variables poden suportar menys càrrega que les que estan sotmeses a càrrega fixa. Això és degut a la fatiga. Quan una peça està sotmesa a una càrrega fixa, si hi ha un defecte com pot ser una esquerda, el material es deforma i tendeix a repartir les tensions entre la resta del material. En canvi, quan una peça està sotmesa a una càrrega variable, aquesta esquerda s'obre i es tanca, i cada vegada que apareix una concentració de tensions, fa que l'esquerda es faci més gran.

18) Trencament d'una peça a fatiga

En una primera etapa, apareix una esquerda degut a imperfeccions del material o de la superfície, que va creixent en els successius cicles de càrrega alternativa degut a l’efecte entalla als extrems de l’esquerda i a que cada vegada l’esquerda s’obre i es tanca. Arriba un moment en què l’esquerda és tan gran que, en un sol cicle, les tensions als extrems poden fer-la créixer fins a trencar tota la peça. En aquest punt, creix de sobte. Abans que l’esquerda arribi a abastar tota la secció de la peça, el material que roman unit és tan feble que es trenca per ductilitat.

19) Determinació de les hores de vida d'una peça

Una peça té la mida, forma, acabat superficial, dimensions i temperatura de treball igual a la proveta de l’assaig de fatiga. Per determinar les hores de vida que tindrà, cal calcular la tensió màxima a què és sotmès el material en cada cicle. A partir d’aquesta dada, a la taula de l’assaig es troba el nombre de cicles que pot suportar. Dividint els cicles que pot suportar entre els cicles que de mitjana la peça fa cada hora, es calcula el nombre d’hores de vida.

20) Factors correctors en els resultats de les provetes estandarditzades

Factor de fiabilitat: Consisteix a tenir en compte que la fallada per fatiga és una variable aleatòria i cal garantir que la probabilitat de fallada abans del nombre de cicles establert per disseny sigui menor que el valor desitjat.

Factor de temperatura: Consisteix a tenir en compte que les propietats del material varien amb la temperatura i cal determinar la vida a la temperatura de treball quan és diferent de l’assaig.

Factor de rugositat: Consisteix a tenir en compte que l’inici de la fallada per fatiga es produeix per l’aparició d’una esquerda i que és més probable que aparegui quan la rugositat és més gran. Cal per calcular la fatiga de peces amb una rugositat superficial diferent de la de les provetes d’assaig.

21) Ones elàstiques

Les ones elàstiques són pertorbacions tensionals que es propaguen al llarg d'un medi elàstic. Es produeixen perquè, quan les tensions internes aplicades a un volum infinitesimal del material no estan equilibrades, aquest material pateix una acceleració. Aquesta acceleració, al cap del temps, provoca que el material del costat rebi una tensió que es va propagant al llarg del material, accelerant primer les partícules que estan més a prop i després les que estan més lluny. La velocitat de propagació de les ones elàstiques de compressió es calcula fent l'arrel quadrada del mòdul de Young dividit entre la densitat.

22) Modes propis de vibració

Els modes propis de vibració són els primers modes on la freqüència d'ordre inferior és la que es queda vibrant en un material quan està sotmès a una força externa.

23) Condicions del tensor tensió en torsió pura

Si s'escull un eix de coordenades que tingui un eix que segueixi l'eix de la peça, les tensions principals i la tensió tallant en aquest eix són 0. Només són diferents de 0 les altres dues tensions tallants, les quals tenen direccions perpendiculars a l'eix de la peça.

24) Resolució del problema elàstic en torsió pura

Si el diàmetre és igual i constant, les deformacions seran iguals a tot arreu. L'angle que haurà girat serà proporcional a la distància respecte al pla que agafem com a referència. Aleshores, calculem la deformació a partir d'aquests desplaçaments i trobem les tensions, resolent així el problema elàstic.

25) Fenomen del vinclament

El vinclament és un fenomen d'inestabilitat elàstica que pot donar-se en elements comprimits esvelts, i que es manifesta per l'aparició de desplaçaments importants transversals a la direcció principal de compressió. Apareix principalment en pilars i columnes.

26) Criteri d’Euler per prevenir el vinclament

El criteri d’Euler es determina igualant el parell d'una columna elàstica que intenta recuperar la seva forma inicial i el parell de la força de compressió. Si els dos parells són iguals, es produeix un equilibri indiferent. Si el parell de la columna és més gran que el parell de la força de compressió, l'equilibri és estable i no hi ha vinclament. Si el parell de la força de compressió és més gran, hi ha un equilibri inestable i hi ha vinclament.

27) Dimensionament per prevenir el vinclament

Per prevenir el fenomen del vinclament, s'apliquen càrregues laterals discretes suficientment grans com per preveure les que poden aparèixer quan aquesta peça s'estigui utilitzant. De forma pràctica, es pot inventar una força gran que pugui ser real i realitzar un càlcul iteratiu canviant les forces fins que la deformació no augmenti. Si convergeix el resultat, saps que l'element està ben dimensionat per prevenir el vinclament; si no, es trencaria.