Algorismes Matemàtics i Resolució de Problemes: Guia Completa

Algorismes de Multiplicació: Cas 54x23

Per exemple, per calcular 54x23, i per tal d’arribar a l’expressió estàndard de l’algorisme, es poden utilitzar les expressions següents, que converteixen una multiplicació que no saben fer en dues multiplicacions que sí que saben fer:

Mètode Horitzontal

54x23 = 54x[(2x10+3)] = [54x(2x10)]+[54x3] = [(54x2)x10]+[54x3] = [108x10]+162 = 1.080+162 = 1.242

Expressió Vertical Inicial

(Dibuix de l'operació vertical inicial)

Una vegada queda clar el desenvolupament inicial de l’operació, es traslladen els resultats parcials, començant a operar per la xifra de les unitats, a una disposició vertical més pròxima a l’expressió estàndard de l’algorisme, l’expressió intermèdia, en la qual es conserva el zero que resulta de multiplicar per la desena.

Expressió Estàndard de l'Algorisme

Quan comproven en exemples repetits que el resultat parcial de multiplicar per la desena sempre presenta un zero en la xifra de les unitats, poden deixar d’escriure’l, de manera que s’arriba definitivament a l’expressió estàndard de l’algorisme.

Divisió amb Zeros al Quocient: Dificultats i Didàctica

En el procés de resolució de diferents tipus de divisions, es poden trobar dues situacions que presenten una dificultat afegida pel fet de tenir zeros entre les xifres del quocient.

Cas Primer: Zero Intermedi al Quocient

Per exemple, en la divisió 4456:43, observaran que no es poden repartir les desenes i caldrà posar zero en la xifra de les desenes del quocient i baixar la xifra de les unitats per tal de poder continuar la divisió.

En general, el que realment passa és que, com que no hi ha suficient quantitat de l’ordre en el qual s’estigui dividint, hem de dividir amb l’ordre següent d’esquerra a dreta, però és evident que cal posar un zero al quocient per a indicar que no hi ha unitats d’aquell ordre.

Cas Segon: Zero Final al Quocient

Per exemple, en 556:54, també trobarem zeros en el quocient, però no en una posició intermèdia.

En aquest cas, en no poder repartir les 16 unitats entre 54, els alumnes han d’anotar en el quocient un zero en el lloc de la xifra de les unitats.

Aquestes dues situacions són d’especial dificultat, i caldrà insistir-hi perquè els xiquets i les xiquetes no oblidin reflectir els zeros en el quocient en el lloc corresponent.

Proposta Didàctica per Erradicar Dificultats

La proposta didàctica vista a classe és acompanyar verbalment el càlcul de la divisió amb els ordres numèrics de les xifres que es van utilitzant, de la següent manera:

• En el cas de la primera divisió (4456:43): Si se sap que el 44 del dividend són centenes i són les que es van a repartir, l’1 que es col·loca al quocient són les centenes repartides, i en sobra 1 d’elles. En el moment de baixar el 5 del dividend, el que cal repartir són 15 desenes, però això és impossible perquè hi ha 43 grups a repartir. Com que en baixar el 6, el que repartim és 156 unitats, al quocient en indicar que no s’han repartit cap desena, per això el 0. Seguidament, el 3 indica la quantitat d’unitats que es reparteixen.
• En el cas de la segona divisió (556:54): El procediment és semblant. Com que les 16 unitats no les podem repartir entre 54 grups, i no tenim més xifres del dividend per baixar, cal indicar al quocient que no hi haurà cap unitat, per això es col·loca el 0.

Propietats dels Múltiples d'un Nombre Natural

A continuació, es presenten i justifiquen les propietats dels múltiples d'un nombre natural:

1. Qualsevol nombre sempre és múltiple de si mateix. Per exemple: 6 = 6x1.
2. La suma (o diferència) de múltiples d’un nombre és també múltiple d’aquest nombre. Per exemple: 6 és múltiple de 3; 9 és múltiple de 3 i, 6+9=15 és múltiple de 3; 9-6=3 també és múltiple de 3.
3. El producte de múltiples d’un nombre és també múltiple d’aquest nombre. Per exemple: 6 és múltiple de 3; 9 és múltiple de 3 i, 54 és múltiple de 3.
4. Si un nombre és múltiple d’un altre, i aquest ho és d’un tercer, el primer nombre és múltiple del tercer. Per exemple: 12 és múltiple de 6, 6 és múltiple de 3 i, 12 és múltiple de 3.

Criteris de Divisibilitat: Completant el Nombre 45A

Justifica, segons els criteris de divisibilitat, els possibles valors de la xifra A, per tal de completar el nombre 45A en els casos següents:

• a) Divisible per 2: Un nombre és divisible per 2 quan la xifra de les unitats és múltiple de 2, és a dir, A ∈ {0, 2, 4, 6, 8}.
• b) Divisible per 3: Un nombre és divisible per 3 si la suma de les seves xifres és múltiple de 3. Com en 45A l'addició de 4 i 5 ja és múltiple de 3 (4+5=9), només cal que A també ho sigui, és a dir, A ∈ {0, 3, 6, 9}.
• c) Divisible per 5: Un nombre és divisible per 5 quan la xifra de les unitats és 0 o 5, és a dir, A ∈ {0, 5}.
• d) Divisible per 9: Un nombre és divisible per 9 si la suma de les seves xifres és múltiple de 9. Com en 45A l'addició de 4 i 5 ja és múltiple de 9 (4+5=9), només cal que A també ho sigui, és a dir, A ∈ {0, 9}.
• e) Divisible per 10: Un nombre és divisible per 10 si la xifra de les unitats és zero, és a dir, A ∈ {0}.

Resolució de Problemes amb Polya: Envasament d'Oli

En una cooperativa agrícola els queda de l’última collita 420 litres d’un tipus d’oli i 225 litres d’un altre. Volen envasar l’oli de cada tipus per separat però en garrafes o bidons tots iguals. Quin és el nombre mínim d’envasos que cal utilitzar?

Fase 1: Comprendre el Problema

• A) Comprensió del problema: Tenim dues classes d’oli, 420 l i 225 l, que volem envasar per separat, en garrafes totes iguals i amb el nombre mínim possible d’envasos.
• B) Justificació de la resolubilitat del problema: Les dues quantitats d’oli es podrien envasar en garrafes d’1 l, però també en envasos de 5 litres, ja que 420 i 225 són divisibles per 5. Aleshores utilitzaríem menys garrafes. Per tant, hi haurà una capacitat dels envasos en què faran falta el nombre mínim possible d’envasos, és a dir, el problema és resoluble.

Fase 2: Concebre un Pla

La capacitat de les garrafes ha de ser un divisor de 420 i també de 225, per tant, ha de ser un divisor comú.