Álgebra, potencias y geometría: fórmulas esenciales y propiedades matemáticas

Números enteros y Álgebra

Números enteros          Álgebra

Propiedades de la suma

• Conmutativa: a + b = b + a
• Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)
• Elemento neutro: 0, porque 0 + a = a + 0 = a
• Elemento opuesto: el opuesto de a es −a, y a + (−a) = (−a) + a = 0

Monomios

Grado de un monomio: por ejemplo, 3x²y tiene grado 3 porque x²y¹ => 2 + 1 = 3.

Monomios semejantes y no semejantes: 3xy² y 5x²y son no semejantes; en cambio 7a²b y 5a²b son semejantes y su suma es 12a²b.

Fracciones y porcentajes

Ejemplo de porcentaje: 33% = 33/100

Ecuaciones

Ejemplos (expresados tal como aparecen):

• 2x - 3 = 6x + 5 =
• 2 · 1 - 3 = 6 · 1 + 5 =
• 2 - 3 = 11 =

(Estos son enunciados de ecuaciones; resolver según corresponda.)

Multiplicar y Dividir

Notación de producto: a · c = a c. Si aparecen factores iguales, se repiten b · d, b · c, etc.

Simplificar

Ejemplo de simplificación de fracciones:

546/468 = (2 · 3 · 7 · 13) / (2² · 3² · 13) = 7 / (2 · 3) = 7/6

Teorema de Euler (poliedros)

Fórmula de Euler: Caras + Vértices = Aristas + 2

Es decir: C + V = A + 2

Potencias

• aⁿ · a^m = a^{n + m}
• aⁿ : a^m = a^{n - m}
• (aⁿ)^m = a^n·m
• a⁰ = 1 (si a ≠ 0)
• (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ
• (a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ

Exponente negativo

a⁻ⁿ = 1 / aⁿ

Potencias de base fraccionaria

(a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ

Potencias de base fraccionaria con exponente negativo

(a / b)⁻ⁿ = (b / a)ⁿ = bⁿ / aⁿ

Teorema de Thales

Enunciado esquemático: Si dos rectas paralelas cortan a dos transversales, los segmentos correspondientes en una transversal son proporcionales a los de la otra.

Raíz cuadrada

Si √a = b ⇔ b² = a (b ≥ 0 si se interpreta como raíz principal).

Área de figuras planas y superficies/volúmenes

Rectángulo

Área: A = b · h

Perímetro: Per = 2b + 2h

Cuadrado

Área: A = l²

Romboide

Área: A = b · h

Rombo

Área: A = D · d / 2 (D y d son las diagonales)

Triángulo

Área: A = b · h / 2

Perímetro (ejemplo): Per = a + a + a = 3a (si los tres lados son iguales)

Trapecio

Área: A = (B + b) · h / 2

Polígono regular

Área: A = P · ap / 2 (P: perímetro, ap: apotema)

Círculo

Área: A = π · r²

Cilindro

Área lateral: AL = 2 · π · r · h

Volumen: V = π · r² · h

Área total: A_total = 2 · π · r · (h + r)

Cono

Área lateral: AL = π · r · g (g = generatriz)

Área total: A_total = π · r · (g + r)

Esfera

Área: A = 4 · π · r²

Volumen: V = 4/3 · π · r³

Relaciones y fórmulas auxiliares

• Radio: r = D / 2
• Diámetro a partir de la circunferencia: D = C / π ? (si C es la circunferencia, entonces C = 2πr y D = C / π / 2)
• Radio a partir del área: r = √(A / (4 · π))

Formulación para pirámides y poliedros (notas del documento original)

Pirámide:

• Área lateral (AL) (según el esquema original): AL = b · h · N(lados) / 2
• Área de la base (AB): por ejemplo, AB = (4 · 4) en un ejemplo cuadrado
• Área total: A_total = AL + AB
• Volumen: V = 1/3 · AB · h
• Volumen para base poligonal regular (según el esquema original): V = N · L · ap_b · h / 6 (verificar notación: N = número de lados, L = longitud del lado, ap_b = apotema de la base)

Nota: Se han corregido errores ortográficos, de mayúsculas/minúsculas y de formato, manteniendo todo el contenido original y organizándolo por secciones para facilitar su lectura y búsqueda.