Álgebra esencial: Monomios, Polinomios y Ecuaciones paso a paso

Monomios

Suma / Resta: Se operan sólo si son semejantes (misma parte literal con los mismos exponentes). Los paréntesis se quitan cambiando el signo que esté delante si el paréntesis tiene un signo negativo. Para sumar o restar fracciones algebraicas, se puede operar multiplicando en cruz para obtener denominador común; si los denominadores tienen factores comunes, se puede sacar factor común.

Multiplicación / División: Al multiplicar monomios se multiplican los coeficientes numéricos y las partes literales; los exponentes de la misma letra se suman. En la división, los exponentes se restan (resta de exponentes).

Polinomios

Suma / Resta

Se colocan los polinomios uno encima del otro, coincidiendo los términos semejantes, y se opera término a término.

Multiplicación

Se multiplican todos los términos de un polinomio por todos los términos del otro (producto término a término). Si hay potencias con la misma base, se suman los exponentes al multiplicar. Inicialmente no se juntan los semejantes, pero al finalizar hay que sumar/restar los términos semejantes para simplificar.

División polinomio / monomio

Se divide cada término del polinomio entre el monomio. Es útil escribir cada división entre paréntesis y dividir como si fuera un monomio entre otro monomio.

División de polinomios (división larga)

Procedimiento:

• Se coloca el divisor y el dividendo como en una cajita (división larga).
• Si falta algún término en el polinomio, se coloca con coeficiente 0 (por ejemplo, 0·x²) para mantener el orden de grados.
• Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor; el resultado se coloca en el cociente.
• Se multiplica ese término del cociente por todo el divisor y se coloca el resultado debajo del dividendo con signos contrarios.
• Se realiza la resta de esos términos, se anulan si dan 0, se baja el siguiente término del dividendo y se repite el proceso.

Ruffini (División por un binomio de la forma x ± a)

Si el divisor es de la forma x ± c, se puede usar el método de Ruffini:

• Se escribe una fila con los coeficientes del polinomio (completando con ceros si hace falta).
• Se coloca el número −c (el opuesto del término independiente del binomio) en una caja a la izquierda y se baja el primer coeficiente al resultado.
• Se multiplica ese número por el valor de la caja y se coloca debajo del siguiente coeficiente; se suman y se repite.
• El resto es el último número que queda; los demás números de la fila resultante son los coeficientes del cociente (hay que añadir las letras en orden correspondiente).

Si aparecen fracciones, se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí para simplificar.

Ecuaciones

Ecuaciones de primer grado (1º grado)

Para despejar x se pasa todo lo que pertenezca a un lado al otro, recordando que al pasar un término cambia de signo. Un número junto a una letra indica multiplicación; una fracción indica división. Si hay fracciones en la ecuación, se obtiene el m.c.m. de los denominadores, se multiplica toda la ecuación por ese m.c.m. (o se multiplican los términos por el inverso correspondiente) y luego se opera normalmente para despejar.

Ecuaciones de segundo grado (2º grado)

La fórmula general para resolver una ecuación completa ax² + bx + c = 0 es:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

Se sustituyen los valores de a, b y c y se calculan las raíces según la fórmula.

Ecuaciones incompletas

• Si falta el término b (es decir, ecuaciones de la forma ax² + c = 0): se pueden resolver como una ecuación cuadrática reducida; se despeja x² y se obtienen raíces por extracción de raíz cuadrada. Si la raíz es negativa, no hay solución en los reales.
• Si falta el término c (es decir, ax² + bx = 0): se puede factorizar sacando factor común x y resolver las ecuaciones resultantes (x( a x + b) = 0).

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: Problema de edades

Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿Al cabo de cuántos años la edad del padre será tres veces la edad del hijo?

• Edad del padre (P): 35 años
• Edad del hijo (H): 5 años

Determinamos el tiempo x transcurrido para que la edad del padre sea tres veces la edad del hijo:

P + x = 3·(H + x)

35 + x = 3·(5 + x)

35 + x = 15 + 3x

3x - x = 35 - 15

2x = 20

x = 10 años

Por tanto, dentro de 10 años la edad del padre será tres veces la del hijo.

Ejemplo 2: Edad de Pedro

Enunciado: Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula la edad de Pedro.

x: edad actual de Pedro

x + 11: edad de Pedro dentro de 11 años

(x - 13)²: edad que Pedro tenía hace 13 años, elevada al cuadrado

Igualamos la edad dentro de once años con la mitad del cuadrado de su edad hace 13 años:

(x + 11) = ( (x - 13)² ) / 2

Multiplicamos por 2 para evitar la fracción:

2(x + 11) = (x - 13)²

Desarrollamos el producto notable:

2x + 22 = x² - 2·x·13 + 13²

2x + 22 = x² - 26x + 169

Llevamos todo al lado izquierdo para igualar a cero:

x² - 26x - 2x + 169 - 22 = 0

x² - 28x + 147 = 0 → Obtenemos una ecuación de segundo grado

Resolvemos la cuadrática (por factorización o fórmula). Las raíces son:

x₁ = 21 y x₂ = 7

Como el ejercicio indica que Pedro ya existía hace 13 años, la solución x = 7 no es válida (porque 7 - 13 sería negativa: Pedro no habría nacido). Por tanto,

Pedro tiene 21 años.

Imagen original de la fracción (se conserva):

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