Teoremas seno y coseno

teorema del seno (para la longitud de un lado, su angulo opuesto, otro lado, angulo opuesto a este lado)

en cualquier triangulo de angulos Â, B y C y lados a, b y c se cumple que

para demostrar esta igualdad trazamos una de las altura,h_c, en un triangulo ABC. obtenemos dos trnaigulos rectangulos AMC y MBC. En el triangulo AMC : 

En el trinagulo MBC:

sin en ambas expresiones despejamos h_c, e igualamos los resultados, resulta:

b*senÂ=a*senB, loq podemos expresar como: a/senÂ=b/senB

si repetimos el proceso con la altura h_a, obtendriamos: b/senB=c/senC

teorema del coseno (para longitud de uno de los lados, conociendo otros lados y angulo opuesto a este lado)

en cualquier triangulo de angulo Â,B y C y lados a, b y c se cumple que:

a²=b²+c²-2bc*cosÂ

b²=a²+c²-2ac*cos B

c²=a²+b²-2ab*cosC

para demostrar este teoremas trazamos una de las altura h_c en un triangulo ABC, obtenemos dos triangulos rectangulos AMC y MBC. En el triangulo AMC:

Aplicando el teorema de pitagoras en el triangulo MBC: a²=(c-m)²+h_c²

como h_c = b*sen y m= b*cos Â, tenemos que:

a²=(c-m)²+h_c² --> a²=c-b*cosÂ)²+(b*senÂ)²

^--> a²=c²-2cb*cos +b²*cos²+b²*sen²Â

-->a²=c²-2cb*cosÂ+b²(cos²Â+sen²Â)

-->a²=c²+b²-2cb*cosÂ