Mache

Un bloque de 2000 kg está suspendido en el aire por un cable de acero que pasa por una polea y acaba en un torno motorizado. El bloque asciende con velocidad constante de 8 cm/s. El radio del tambor del torno es de 30 cm y la masa de la polea es despreciable.

Un péndulo compuesto está formado por una varilla de 200 g de masa y 40 cm de longitud y dos esferas macizas de 500 g y 5 cm de radio, equidistantes 8 cm de los extremos de la barra. El péndulo se haya suspendido de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de una de las esferas, y es desviado 65º de la posición de equilibrio estable.

Determinar la velocidad angular del péndulo cuando, una vez soltado, retorna a la posición de equilibrio estable

3. Para calcular el momento de inercia de un cilindro macizo respecto a un eje que pasa por su centro Z deberemos realizar los siguientes pasos:

1) Calcular el momento de inercia respecto al eje Z' diámetro de un disco elemental de espesor dx.

2) Calcular el momento de inercia del disco elemental respecto al ejeZ.

Para calcular el momento de inercia de un disco respecto a un diámetro, lo haremos aplicando el teorema de figuras planas ya que conocemos el momento de inercia respecto al eje z, que es perpendicular a los dos ejes x,y que se encuentran en el plano.

Por lo tanto tendremos

Pero sabemos además que tanto I_x como I_y son ambos momentosde inercia de diámetro y por razones de simetría iguales en conclusión I_x=I_y y lo

de inercia de diámetro y por razones de simetría iguales en conclusión I_x=I_y y lo llamaremos I en consecuencia tendremos que

 

y el valor de I será

 

y el valor de I_z lo encontramos en la tabla de momentos de inercia

y la expresión de I resulta

   

Vamos a calcular el momento de inercia del paralelepípedo por medio del siguiente procedimiento. Primero determinaremos la inercia de un elemento de volumen de dimensiones a, b y dx. respecto a un eje Z', y posteriormente lo correremos por el Teorema de Steiner al eje Z., una vez obtenido el valor respecto al eje Z del elemento de volumen, solamente bastará con integrarlo entre los valores que asume x respecto al eje Z, que son -c/2 y +c/2.

el valor del elemento de masa será

el valor del elemento de masa será

y el momento de inercia de una placa es 

por lo que el valor de la inercia de acuerdo a lo expresado anteriormente

por lo que el valor de la inercia de acuerdo a lo expresado anteriormente

por lo que el valor de la inercia de acuerdo a lo expresado anteriormente

y el valor de la inercia total lo obtenemos integrando el valor de momento inercia elemental

Una masa de 15.0 kg y una de 10.0 kg están suspendidas por una polea que tiene un radio de 10.0 cm y una

masa de 3.0 kg. La cuerda tiene una masa despreciable y hace que la polea gire sin deslizarse. La polea gira sin

fricción. Las masas empiezan a moverse desde el reposo cuando están separadas por una distancia de 3.00 m.

Trate a la polea como un disco uniforme y determine la rapidez de las dos masas cuando pasan una frente a la

otra.

Sol.

Teorema de Trabajo y Energía:

Wneto = ?K

(m1g – m2g)(h/2) = ½ (m1 + m2) v2 + ½ I ?2 – 0

(m1g – m2g)(h/2) = ½ (m1 + m2) v2 + ½ (½ m3 r2) v2/r2

(m1g – m2g)(h/2) = ½ (m1 + m2) v2 + ¼ m3 v2

[15.0(9.8) – 10.0(9.8)](3/2) = ½ (15.0 + 10.0) v2 + ¼

(3.0) v2

73.50 = 12.50 v2 + 0.75 v2

13.25 v2 = 73.50

v2 = 5.547

v = 2.355 m/s

21. Un momento de torsión constante de 25 N-m se aplica a una

rueda de molino cuyo momento de inercia es 0.130 kg-m2.

Usando los principios de energía encuentre la rapidez angular

después de que la rueda ha realizado 15.0 revoluciones. (No tome en cuenta la fricción).

Sol.

Teorema de Trabajo y Energía:

Wneto = ?K

?? = ½ I ?2 – 0

donde ? = 15 rev x 2? = 30? ? 94.248 rad

25(94.248) = ½ (0.130) ?2

?2 = 36 249.2

? = 190.4 rad/s (?1 818 rev/min)

 22. Un autobús está diseñado para extraer su potencia de un volante que se lleva a su máxima rapidez (3 000

rev/min) por medio de un motor eléctrico. El volante es un cilindro sólido de 1 000 kg de masa y 1.00 m de

diámetro. Si el autobús necesita una potencia promedio de 10.0 kW, ¿cuánto debe girar el volante?

Sol.

Potencia P = ??

? = 3 000 rev/min x 2? rad / 60 s = 314.16 rad/s, así

? = P / ? = 10 000 / 314.16

? = 31.831 N-m

Por Teorema Trabajo y Energía:

?? = ½ I ?2 – 0

31.831 ? = ½ [(1/2 (1 000)(0.50)2](314.16)2

31.831 ? = 6 168 531.6

? = 193 790 rad (?30 843 rev)

 23.  Un motor eléctrico puede acelerar una rueda de la fortuna de momento de inercia I = 20 000 kg-m2 a partir del

reposo hasta 10 rev/min en 12.0 s. Cuando el motor se apaga, la fricción ocasiona que la rueda se frene de 10.0

á 8 rev/min en 10.0 s. Determine, a) el momento de torsión generado por el motor para llevar la rueda hasta

10.0 rev/min, y b) la potencia necesaria para mantener esta rapidez rotacional.

Sol.

?1 = 10 rev/min x 2? rad/ 60 s = 1.047 rad/s

?2 = 8 rev/min x 2? rad/ 60 s = 0.838 rad/s

¿cuántas vueltas da en los primeros 12.0 s?:

? = ½(1.047)(12.0) = 6.282 rad (=1 rev)

¿cuántas vueltas en los 10.0 s en que el motor está apagado y sólo actúa la fricción?

? = ½ (1.047 + 0.838)(10.0) = 9.425 rad (1.5 rev)

a) En esta parte en que frena, ¿cuánto vale el momento friccionante?

Por Teorema W = ?K

?f ? = ½ I ?2

2 – ½ I ?1

2

?f (9.425) = ½ (20 000) [(0.838)2 – (1.047)2]

9.425 ?f = -3 939.65

?f = -418.0 N-m

Luego entonces en los primeros 12.0 s en que está encendido el motor (y también por supuesto actuando el

momento friccionante ?f ):

Por Teorema Wneto = ?K

(?motor – ?f ) ?1 = ½ I ?1

2 – 0

(?motor – 418.0 )(6.282) = ½ (20 000) (1.047)2

6.282 ?motor = 2 625.876 + 10 962.090

6.282 ?motor = 13 587.966

?motor = 2 163.0 N-m

b) P = ?? donde ? = 1.047 rad/s y el momento de torsión sólo necesario para contrarrestar la fricción, por

tanto ? = ?f = 418 N-m

P = 418 (1.047) = 437.6 W

24.  La polea que se muestra en la figura tiene un radio R y momento de inercia I. Un extremo de la masa m está

conectado a un resorte de constante de fuerza k, y el otro está unido a una cuerda enrollada alrededor de la

polea. El eje de la polea y la pendiente son sin fricción. Si la polea está enrollada en dirección contraria a las

manecillas del reloj de modo que alarga el resorte una distancia d a partir de su posición de equilibrio y

después se suelta desde el reposo, encuentre a) la rapidez angular de la polea cuando el resorte está

nuevamente sin alargar, y b) un valor numérico para la rapidez angular en este punto si I = 1.00 kg-m2, R =

0.300 m, k = 50.0 N/m, m = 0.500 kg, d = 0.200 m y ? = 37.0°.

Sol.

Por Principio de Conservación de la Energía mecánica: Eini = Efin

½ kd2 + mgh = ½ mv2 + ½ I ?2

½ k d2 + mg d sen 37.0° = ½ m (r?)2 + ½ I?2  

½ k d2 + mg d sen 37.0° = ½ mr2 ?2 + ½ I ?2

½ (mr2 + I) ?2 = d(1/2 kd + mg sen 37.0°)

?2 = d(kd + 2mg sen 37.0°) / (mr2 + I)

?2 = 0.200[(50.0)(0.200) + 2(0.500)(9.8)(0.602)]/[(0.500)(0.300)2 + 1.00]

?2 = 3.18 / 1.045 = 3.043

? = 1.74 rad/s