Ciencias de los materiales

4.2 Cristales BCC, FCC, HCP. F actor de empaquetamiento. Tablas de elementos (cristal, a, R) y relación de a y R.

Publicado el27 octubre, 2010porestudiantesmetalografia

JUAN ESTEBAN ALVAREZ  

ESTRUCTURA CÚBICA DE CUERPO CENTRADO

Se denomina estructura de cuerpo centrado (body centred cubic) porque   uno de los átomos se encuentra  contenido justo en el centro del cubo o  celda unitaria, y es equidistante de los ocho átomos de las esquinas, se dice por lo tanto que tiene un número de coordinacion  (NC) de 8, es decir que 8 es el indice (b)De la estrucutra cristalina BCC los átomos que cortan las esquinas son octavos de dichos vecinos próximos, además está contenido un átomo en su totalidad en el centro, por lo tanto tenemos :

Esquinas: (1/8) × 8 átomos = 1 átomo.

Centro:                   1 átomos = 1 átomo.

Total        = 2 átomos/ celda unidad.

¿Se puede afirmar esto sin temor a alguna equivocación? la respuesta es acertada pues se debe recordar que cada átomo de cristal está rodeado por un arreglo idéntico de átomos en el látice espacial repetitivo, lo que significa que  el látice que conforma el conjunto parcialmente ordenado que consta de dos elementos (en este caso átomos) tiene una mínima cota superior y una máxima cota inferior, donde los elementos cumplen las operaciones de simetría de una estructura, y está dotado de una ley de composición interna de aplicación sucesiva que se puede modelar matemáticamente.

figura 4.2-2estructura cristalina BCC donde se muestra la relación entra la constante de red a y el radio atómico R

En la celda unidad BCC los átomos de cada vértice contactan entre sí a través de la diagonal del cubo, como se muestra en la figura 4.2-2, por que la relacipon entre la arista del cubo a y el radio atómico R  es

√3 a=4R     o    a=4R/√3              (4.1)

4R es el número de radios que atraviesa la diagonal de las esquinas opuestas

la demostración de 4.1 se hace simple y por trigonometria.

Otro factor importante a calcular es el volúmen  de la celda unidad BCC  y de cualquier celda que está ocupada por átomos , para esto se asume que las esferas son rígidas, y determinados el  parámetro de látice  (a) y el radio atómico (R); se  define un factor de condensación atómica o factor de empaquetamiento.

FACTOR DE EMPAQUETAMIENTO (APF)

Generalmente se acepta que la naturaleza favorece los arreglos y estados de la materia que tienden a minimizar los niveles de energía (energía potencial). por ello podemos preguntarnos qué tan eficiente es en verdad el arreglo de un cristal y si es razonable asumir un empaquetamiento denso; para este ultimo se realiza la convención de:

• Generalmente sólo está presente un elemento, por lo que todos los radios atómicos son iguales.
• El enlace metálico no es direccional.
• La distancia a los primeros vecinos tienden a ser cortas para disminuir la energía de enlace.
• la nube electrónica cubre a los núcleos.

Entonces,  Para evaluar la eficiencia de la estructura cristalina o cuán eficiente estan arreglados los átomos se  calculará el volúmen atómico contenido en la celda unitaria en relación con el volúmen total de la celda unitaria como sigue:

APF= volúmen de átomos en una celda unidad/ volúmen de la celda unidad   (4.2).

Ejemplo 4.1 a

Calcule el factor de empaquetamiento atómico para la celda unidad BCC, considerando los átomos como esferas rígidas

solución:

APF=Volumen de los átomos en la celda unidad BCC / Volumen de la celda unidad BCC

Puesto que tenemos dos átomos por celda unidad BCC, el volumen de los átomos de radio R en una celda unidad es,

V_átomos= (2)(4/3 Π R^3)

El volumen de la celda unidad es:

V_celda unidad= a^3

Donde a es la constante de red. La relación entre a y R se obtiene a partir de la figura 4.2-2, que muestra cómo los átomos de la celda unidad contactan a través de la diagonal del cubo. así,

√3 a=4R

Así,

V_celda unidad= a^3=12,32 R^3

El factor de empaquetamiento atómico para la celda unidad BCC resulta ser,

APF= (V_átomos/celda unidad) / V_celda unidad = 8,373 R^3 / 12,32R^3 = 0,68

Ahora, se establecerán las siguientes realciones de constante de red a y radio atómico para materiales que tienen estructura cirstalina BCC a temperatura ambiente de (20°C).

Ejemplo 4.1-b

El tántalo a 20°C es BCC con átomos de radio atómico  0,143nm. Calcule la constante de celda a para la arista del cubo de la celda unidad del tántalo

Solución: en la figura 4.2-2 se ve que los átomos de tántalo en la celda unidad BCC se tocan a través de la diagonal del cubo.Así , si a es la arista del cubo, tenemos:

√3 a=4R

Donde R es el radio atómico del tántalo, entonces:

a= (4(0,143nm))/√3 = 0,330nm

ESTRUCTURA CÙBICA CENTRADA EN LAS CARAS

figura 4.3-1 estructura cristalina FCC

Otro tipo de arreglo cristalino cùbico es el FCC (face centred cubic), su diferencia entre las estructuras cristalinas difiere porque en cada faz (cara) existe un átomo colocado en ella y en los vértices de las celdilla unidad, o sea, en las posiciones de los nudos de la red de Bravais del mismo nombre (figura 4.3-1). El nùmero de coordinacion la estructura FCC es de 12, la forma mas sencilla de comprender esto,  es situandose mentalmente en el àtomo del centro de una de las caras  y contar todos los átomos en contacto con él.

De nuevo se separó mucho el arreglo de la celda (fig.4.3-2) con la intención de que la localizacion de los átomos sea clara; examinando el cristal, además de los ocho átomos de esquina, existen seis átomos centrados en las caras que se comporten entre esta celda y sus vecinas inmediatas. La mitad de cuaquier átomo se la faz se encuentra en una celda unitaria y la otra mitad  está en la celda adyacente; por lo tanto, se puede determinar la cantida de átomos asociados con la celda unitaria de esta estructura como sigue:

figura 4.3-2. Celda unidad FCC con su respectivo arreglo atómico

McMaster_FCC_Unit_Cells_(C)_2007_Ehsan_Shojaei

Esquinas: 8 × 1/8 = 1 àtomo

Caras:       6 × 1/2 = 3 àtomos

Total   = 4 àtomos /celda unitaria

Nótese que la canatidad de átomos por celda unitaria se duplicaron con  relación a la del sistema BCC, que contiene el equivalente de dos átomos por celda unidad, con seguridad, éste es el indicio de una condensación atómica mas eficiente en el látice.

En la celda FCC los átomos contactan en la diagonal de la cara del cubo como se indica en la figura 4.3-3, por lo que la relación entre la arista del cubo a y el radio atómico R es:

√2 a =4R  o  a= 4R/ √2   (4.3)

El APF para la estructura cristalina FCC es de 0,74, que es mayor que el factor 0,68 de la estructura BCC. Un APF de 0,74 es el máximo de compacto posible para átomos esféricos. Muchos metales como el aluminio, cobre, plomo, níquel y hierro a termperatura elevada ( de 912 a 1.394 °C) cristalizan en la estructura FCC.

Metales que tienen estructura cristalina FCC a temperatura ambiente (20°C) y su constante de red y radio atómico.

ESTRUCTURA HEXAGONAL DE EMPAQUETAMIENTO CERRADO

El tercer tipo principal de estructura cristalina es HCP, presenta un arreglo de alta densiad  en sus átomos, los cuales en su tercer capa o plano se encuentran directamente por encima de los átomos del primer plano como indica en a figura 4.4-1.

(a)

(b)

figura 4.4-1. celda unidad HCP. a) de esferas rígidas; b) de posiciones atómicas.

McMaster_HCPs_Unit_Cells_(C)_2007_Ehsan_Shojaei

El número de coordinación de los cristales HCP es el mismo que para los FCC e igual a 12. Se puede verificar esta cantidad con los átomos vecinos más próximos, considerando el átomo central en un plano base, este átomo está rodeado por tres átomos en su propio plano base, más tres átomos que se localizan cada uno en el plano adyacente paralelo, lo que hace un total de 12 átomos vecinos más próximos. El fator de condensaciòn atómica es e mismo que el de FCC e igual a 0.74; generalmente se conocen las estructuras FCC y HCP como empaquetamiento cerrado por que son las dos formas de arreglar esferas idéntica con la densidad mas grande posible y que aún exhiben periocidad.

Una celda HCP tiene un equivalente a seis átomos por celda unidad:

tres átomos forman un triángulo en la capa intermedia como queda reflejado por las posiciones atómicas en la figura 4.2-2 b. Hay seis × 1/6 secciones de átomos en las capas superior e inferior, contribuyendo  con un equivalente de dos átomos mas por celdilla ( 2  × 6 ×  1/6 =2). Finalmente, hay medio átomo más por celdilla. Así, el número toral de átomos por celdilla unidad en la estructura HCP es de 3 + 2+1 = 6. La relación entre la altura c del prisma hexagonal de la estructura y el lado a de su base se llama relación c/a para algunos metales HCP. De entre los metales cinc, cadmio, entre otros, tiene una relación c/a superior a la ideal lo que indica que los átomos en estas estructuras están ligeramente elongados a lo largo del eje c en la celdilla unidad HCP. Los metales como el magnesio, cobalto, circonio, titanio y berilio tienen una relacion c/A menor que la ideal, por tanto, en estos metales los átomos están ligeramente comprimidos en la dirección del eje c. Así, estos metales presentan ciertas desviaciones del modelo ideal de esferas rígidas.

A continuación se hará la comprobación del valor del factor de empaquetamiento en una estructura cristalina HCP

figura 4.4-2 diagramas para calcular el volumen de la celda unidad HCP

Ejemplo 4.4-A

Calcular el volumen de la celdilla unidad de la estructura cristalina del cinc a partir de los  siguientes datos: el cinc puro tiene una estructura cristalina HCP con constantes de red  a=0,2665 nm  y c= 0,4947 nm.solucion:

El volumen de la celdilla unidad  HCP puede obtenerse determinando el área de la base de la celdilla unidad y multiplicando ésta por la altura figura 4.4-2.

El área de la base de la celdilla unidad es el área de la parte inferior del hexagono, de forma que el área total es la suma e las áreas de los seís triángulos equiláteros de área, a partir de la figura 4.4-2 podemos deducir lo siguiente:

Área del trinángulo ( figura 4.4-2 b)= 1/2 (base)(altura)

= 1/2 (a)(asen 60°) = 1/2 a^2 sen60°

A partir de la figura 4.4-2b;

Área toal de la base HCP = (6)(1/2 a^2 sen60°)

= 3 a^2 sen 60°

A partir de la figura 4.4-2a;

Volumen de la celdilla unidad del cinc HCP = (3a^2 sen 60°)(c)

= (3)(0,2665 nm)^2 (0,8660) (0,4947 nm)

= 0,0913 nm^3

Materiales con estructura cristalina HCP a temperatura ambiente (20°C) y sus constantes reticulares, su radio atómico y su relación  c/a