Teoria-Ec.Diferenciales

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Teoría. Ecuaciones diferenciales (ED). Definición: 1 ec que contiene las deriv o diferenciales de 1 o + variables dependientes con respecto a 1 o + variables independientes se llama ED.(Es la incógnita de una f y aparecen las deriv de la f incógnita). Clasificación: según tres características: tipo, orden y linealidad. S egún el tipo de deriv puede ser ordinaria (EDO) o parcial (EDP). Una EDO sólo contiene derivadas ordinarias (derivadas de una o varias funciones de una sóla variable independiente). Una EDP contiene derivadas parciales (derivadas de 1 o varias funciones de 2 o + variables independientes). El orden de una ED lo determ el orden de la + alta derivada presente en élla (1º orden-1ªderiv-soluciones exponenciales, 2º orden-2ªderiv-soluc oscilantes) . Una ED es lineal si presenta la siguiente forma: an(x)dny/dxn+an-1(x)dn-1y/dxn-1+...+a1(x)dy/dx+a0(x)y=g(x) y: i) la variable dependiente y todas sus deriv sólo pueden tener exponente 1 ii) los coeficientes sólo involucran la variable independiente x. Una ED que no es lineal se denomina no lineal. ED elementales son ED ordinarias (EDO). Solución: una f unción f, definida en algún intervalo I, es soluc de una ED en dicho I , si al sustituirla en la ED la reduce a una identidad. Las soluc de las ED pueden ser explícitas o implícitas. Una ED tiene, generalmente, un número infinito de soluciones o + bien una familia n-paramétrica de soluciones. El número de paramétros, n, depende del orden de la ED. Cuando se dan valores específicos (cuando se asignan valores numéricos) a los paramétros arbitrarios, se obtiene una solu c particular de la ED. En algunas ocasiones se tiene una soluc que no pertenece a la familia n-paramétrica ( soluc singular ). ED1orden: y´=f(x,y) Métodos para hallar la soluc según la forma de la ec:Integración directa, Separación de variables, Factor de integración, Sustitución apropiada . Importante: problema con condiciones iniciales y0=y(x0) aplicar tma de existencia y unicidad de soluc: Si p y g son funciones continuas en (a,b), y x0€(a,b), existe una función única que es la soluc de la ED con valor inicial y´+p(x)y=f(x), y(x0)=y0 y0: valor inicial arbitrario dado para x0. Integracion directa: ED1orden no tiene términos con y: y´=f(x) Para hallar la soluc general s integran ambos miembros de la igualdad: y=? f(x)dx+c Separación de variables: Se aplica a ED con variables separables (ec separables): dy/dx=g(x)/h(y) h(y)dy=g(x)dx Se integra en ambos miembros dando un a f implícita ? h(y)dy=g(x)dx Factor integrante: Para ec lineales de 1orden: a1(x)dy/dx+a0(x)y=g(x) Procedimiento: 1.Se divide la ec por a1 dando y´+P(x)y=f(x) siendo P(x)=a0(x)/a1(x) y f(x)=g(x)/a1(x) 2.Se identifica P(x) y se determ el factor integrante m(x)= e? P(x)dx 3. Se multiplica la ec obtenida en 1 por el factor integrante m(x): m(x) y´+ m(x) P(x)y= m(x) f(x) 4.Como el lado izdo de la ec en 3 es la deriv del producto de m(x) y la variable dependiente y, se escribe: d(m(x)y)/dx=m(x)f(x) 5.Se integran ambos miembros de la ec en 4 Ec.Exactas: M(x,y)y´+N(x,y)=0 en donde M(x,y), dM/dx, N(x,y), dN/dy son continuas en 1 region rectangular R:a->=Mdx+Ndy siendo M=dxf N=dyf EDHomogenas de 1orden: y´=F(y/x) Para resolver efectuar estas sustituciones: v=y/x y=vx y´=v+xdv/dx ED2orden (y orden superior): soluc es de = grado que el orden de la ED a2d2y/dx2+ a1(x)dy/dx+a0(x)y=g(x) Si g(x)=0 es homogenea, sino es inhomogenea si a2,a1,a0 son ctes es EDLineal de 2orden con coeficientes ctes Principio de superposición de soluc: cualquier combinacion lineal de soluc es tb soluc Dado 1 conj de f{f1,f2f3,...,fn} si exist un conj de coef C1,C2,C3,...,Cn € IR tal que C1f1+C2f2+C3f3+...+Cnfn=0 para todo valor de x, si se diferencian en una cte y Wroskiano(f1,f2...fn)=|f1f2...fn,f´1f´2...f´n,fn-11fn-12...fn-1n|=0 el conj es linealmente dependiente (LD) ; y y a la inversa es independiente(LI) . ED2ordenLinealHomogenea: ay” +by' + cy = 0 busco soluciones del tipo y=ekx {y´=kekx y´´=k2ekx} y=ak2+bk+c=0 i) 2 valores diferentes de k: Soluc general y=C1ek1x+C2ek2x ii) 2 valores imaginarios {k1=alfa+ibeta k2=alfa-ibeta}: Soluc general y=ealfax[C1eibetax+C2e-ibetax]={eibetax=cos(betax)+sen(betax) e-ibetax=cos(betax)-sen(betax)}=ealfax[Asen(betax)+Bcos(betax)] iii) 1 solo valor de k: y1=C1ekx y2=C2xekx soluc general: y=(C1+C2x)ekx ED2ordenLineal Inh omogenea: ay” +by' + cy = g(x) llamo soluc particular de la ec inhomogenea a una soluc libre de parametros de ésta si yp es la soluc particular ayp´´+byp´+cyp=0 entonces y=yh+yp es la soluc general siendo yh soluc de la ec homogenea (y=c1y1+c2y2) Operador lineal: L=[ad2/dx2+bd/dx+c]->ED Ly=[ad2y/dy2+bd/dx+cy]->g(x) L(yh+yp)=g(x) Lyh+Lyp=0+Lyp=g(x) a) Método por tanteo: Tabla de yp según g(x): g(x):cte 1, polinomio1º 2x+3, polinomioºn 3x3+5, exponencial e3x, trigonometicas sen(4x) cos(5x), poninomioºnexponencial Pn(x)e2x, polinomioºntrigonometrica Pn(x)sen(2x) yp:A,AxB, Ax3+Bx2+Cx+D, Ae3x (excepción k=3 yp=Axe4x), Asen(4x)+Bcos(4x) Asen(5x)+Bcos(5x), Pn(x)e2x, Pn(x)sen(2x)+P´ncos(2x) b)Método de variación de ctes:

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