Símbolos de álgebra

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Durante las guerras civiles en Francia los españoles se servían, para su correspondencia secreta, de un código en que figuraban cerca de 600 símbolos diferentes, periódicamente permutado según cierta regla que sólo los súbditos más íntimos de Felipe lo conocían.
Habiendo sido, sin embargo, interceptado un despacho secreto de España, Enrique IV, rey de Francia, resolvíó que el genio maravilloso de Viète descifrara el escrito.
Cuando Felipe II supo que sus enemigos habían descubierto el secreto del código tenido como indescifrable, fue presa de gran espanto y rencor, apresurándose a en llevar al Papa Gregorio XIII la denuncia que los franceses, contrariamente a la práctica de la fe cristiana, "recurrían a sortilegios diabólicos de magia y brujería", denuncia a la que el Pontífice no dio ninguna atención.
El escritor francés Alfonso Daudet, en su libro Tartarin de Tarascón, cuenta un episodio que destacamos a continuación: "detrás de un camello 4000 corrían, a pie descalzo, Gesticulando, riendo como locos y haciendo brillar al sol, 600.000 dientes muy blancos".
Una simple división de números enteros no muestra que Daudet, cuya vivacidad espíritu es inconfundible, atribuyó un total de 150 dientes para cada árabe, transformando los 4000 perseguidores en criaturas fenomenales.
Llegando esa conclusión, el aproblemado feriante reuníó las 60 piñas y comenzó a venderlas en grupos de a cinco por $ 2000.
El negocio era justificado por un raciocinio muy simple: si yo debía vender a 3 por $1000, y después a 2 por $ 1000, esto es a razón de 400 reales cada una.
-¡Vender 3 por $ 1000 y después vender 2 por $ 1000 es la misma cosa que vender cinco por $ 2000!
El feriante sólo dispónía, como muestra la figura, que podían ser vendidos, sin perjuicio, 10 grupos a razón de 5 por $2000.
Vendidos esos 10 grupos restaban 10 piñas que pertenecían exclusivamente al campesino B y que por tanto no podían ser vendidas sino que a 500 reales cada una.
La matemática tiene inventos tan sutiles, que podrían satisfacer no sólo la curiosidad sino que también para ayudar a las artes y ahorrar trabajo a los hombres.
La persona que examine con atención la curiosa figura de abajo (Figura 2) será capaz de jurar que las curvas que en ella aparecen son espirales perfectos.
  Nadie puede imaginar las dificultades que los egiptólogos encontraron para llevar a término la tarea de descifrar el papiro.
El papiro contiene problemas de aritmética, cuestiones de geometría y varias reglas empíricas para el cálculo de áreas y de volúMenes.
Dividir 700 haces (porción atada de mieses) en cuatro personas de modo de dar dos tercios a la primera, un medio a la segunda, un tercio a la tercera y un cuarto a la cuarta.
El papiro de Ahmés, según mostró el profesor Raja Gabaglia, en varios problemas de adición y de substracción aparecen indicadas por signo que representa dos piernas.
Un avaro, que el pueblo apodaba Palo Duro, movido por la manía mórbida de juntar dinero, resolvíó cierta vez, economizar de la siguiente forma:
El primer día del mes guardaría en un cofre, un veinte;
Al fin de una semana, o mejor, ocho días después, el avaro habría economizado apenas 255 veintes, esto es, $ 5100.
Al cabo de 30 días, el avaro habría economizado un número de veintes igual a 1.073.741.823, el número que equivale a la cantidad de 21.474.836.460 centavos.
6 Os Lusíadas, de Luís de Camões, es una epopeya portuguesa por excelencia publicada por primera vez en 1572, tres años después del regreso del autor de Oriente.
7 El verso del lírico italiano es el siguiente y corresponde al proverbio portugués: "de la mano a la boca se pierde muchas veces la sopa"
En estas cifras el número 8 repetido 1, 2, 3 veces, etc., como lo señala el último dígito de la derecha.
Un agricultor ha dejado un legado para sus cuatro hijos en forma baja de un cuadrado donde habían recibido la orden de plantar 12 árboles.
El dibujo II de la figura siguiente, claramente muestra como debe ser asignado el terreno a fin que se cumplan las exigencias del agricultor.
Los antiguos matemáticos griegos, como se ve en la obra de Diofanto, se limitaban a indicar la yuxtaposición de las partes, además, un sistema que hoy tenemos, cuando nos referimos a la suma de un número entero con una fracción.
Ciertas propiedades de números enteros reciben nombres curiosos, que a menudo ha sorprendido a los espíritus con la guardia baja, o no muy afectos a transformaciones aritméticas múltiples.
Algunos matemáticos buscan dentro de la ciencia un ancho campo abierto, donde pueden hacer aterrizar las fantasías más extravagantes, con una pericia semejante a la de grandes pilotos.
Una hipérbola es una curva de segundo grado, constituida por dos ramas, luego una serpiente, no puede ser partida en cuatro pedazos, jamás podría formar hipérbolas lentas sobre el piso.
  Para que alguna cosa pueda ponerse en el centro de un círculo, debe ser, previamente, esto es claro, reducida a un punto, pues según afirman los matemáticos, el centro de un círculo es un punto...Y, en ese "punto", Guilherme de Almeida tiene razón.
Ciertos documentos concernientes a matemática de los caldeos datan de 3000 años antes de Cristo9, en cambio, los documentos egipcios más antiguos proceden de cerca de 1700 años a.
Los famosos fragmentos han puesto de manifiesto que el desarrollo científico de la matemática en Babilonia eran enormes, es cierto, pero totalmente aislados unos de otros.
    Los caldeos adoptaron, y de esto no hay duda alguna, un sistema de numeración que se basa en el número 60, es decir, en la que 60 unidades de un orden de magnitud, hacen una unidad de orden superior siguiente.
Y con este sistema sólo se llegó al número 12 960 000, que corresponde a la cuarta potencia de la base 60.
Es interesante señalar que en las representaciones de los carros asirios, las ruedas aparecían siempre con seis rayos, opuestos diametralmente y formando ángulos centrales iguales.
Eso no lleva a concluir, con toda seguridad, que los caldeos conocían el hexágono regular y sabían dividir la circunferencia en seis partes iguales.
Cada una de esas partes de circunferencia era dividida, a su vez, en 60 partes, también iguales (por causa de su sistema de numeración) resultando de ahí la división total de la circunferencia en 360 partes o grados.
Cuando nos referimos a productos curiosos, procuramos destacar las singularidades presentan ciertos números con la disposición original de sus dígitos.
  Otra   vez   observamos   la   misma   singularidad:  los   dígitos  del   producto  son precisamente los mismos del número pero en un orden alterado.
Del mismo modo podríamos verificar las irregularidades que presenta número 142 857 cuando es multiplicado por 11, 12, 13, 15, 17, 18, etc.
Algunos autores llegan a afirmar que hay una especie de cohesión entre los dígitos del número 142 857, que no permiten que esos dígitos se separen.
Al efectuar su operación, notamos una interesante disposición numérica: las columnas de dos productos parciales están formadas por dígitos iguales.
Retomemos el número 142 857 y determinemos el producto de ese numero por los factores 4, 14, 21, 28, etc.
el segundo producto aparecen solo cinco dígitos iguales a 9, siendo el sexto "descompuesto" en dos partes que fueron a ocupar los extremos de los resultados.
Si convertimos la fracción ordinaria 1/7 a su forma decimal, vamos a tener la cifra periódica simple cuyo período es precisamente 142 857.
Quien ya ha estudiado fracciones ordinarias y decimales podrá comprender fácilmente que las fracciones ordinarias 2/7, 3/7, 4/7, 5/7 y 6/7, cuando se convierten en fracciones decimales tendrán también fracciones periódicas simples cuyos períodos están formados por los dígitos 1, 4, 2, 8, 5 y 7, que aparecerán en cierto orden, conforme al valor del numerador.
El número 142 857, que algunos algebristas denominan "número impertinente" no es, por tanto, el único en presentar particularidades en relación a la permanencia de algunos dígitos en diversos productos.
Los historiadores griegos, sin excepción, sitúan en Egipto el origen de la geometría, y atribuyen, por tanto, a los habitantes del valle del Nilo la invención de esa ciencia.
Las periódicas inundaciones del célebre río forzaron a los egipcios al estudio de la geometría, puesto que una vez pasado el período de inundación, cuando las aguas retornaban su curso normal, era necesario repartir nuevamente las tierras, desafiando la inteligencia de los "cuervos", para entregar a los señores sus antiguas propiedades perfectamente delimitadas.
La pequeña faja de tierra rica y fértil, era disputada por muchos interesados, se hacían mediciones rigurosas con el fin que cada uno, sin perjuicio de otro, le fuese reintegrada su propiedad en la posición exacta.
Un observador curioso, Leroy, quiso concluir con seguridad, después de varias experiencias, que los cuervos podían contar, sin error, hasta cinco.
Habiendo verificado que los cuervos nunca vuelven al nido cuando alguien está en la vecindad, se construyó una pequeña choza a una distancia prudente de un nido de cuervos.
En el primer día, Leroy mandó que un hombre entrara en la cabaña y observó que los cuervos no se acercaban al nido, hasta que el hombre se retiraba de ella.
Esas experiencias mostraban claramente que los cuervos contaban los hombres, no sólo cuando entraban, sino que también después, cuando con pequeños intervalos salían de la cabaña.
El cielo debe ser necesariamente esférico, puesto que la esfera siendo generada por la rotación del círculo, es de todos los cuerpos, el más perfecto.
A mediados del Siglo XIX, los astrónomos habrían verificado, de modo indiscutible, que el planeta Urano presentaba ciertas irregularidades en su movimiento.
El sabio francés, que todavía era muy joven ya que tenía sólo 35 años de edad, sabe, desde luego, dar feliz orientación a sus investigaciones.
Y Le Verrier, aún con la incertidumbre de los resultados, escribíó: ¿Si se pudiera determinar un punto en el cielo donde los astrónomos deben reconocer un cuerpo extraño, fuente de tantas dificultades?11
Galle, astrónomo del observatorio de Berlín, menos por convicción que para atender el pedido de Le Verrier, procuró observar el trecho de la bóveda celeste donde debía hallarse el "planeta desconocido", y verificó que allí existía un astro que correspondía exactamente a la estimación del sabio francés, como si fuera hecho a la medida.
Tal resultado, más allá de representar un incomparable triunfo para la Mecánica Celeste, vino a demostrar la fecundidad asombrosa de las leyes físicas cuando se emplean inteligentemente.
Un individuo entró en una zapatería y compró un par de zapatos por $60.000, entregando en pago un cheque por $100.000.
Es interesante observar las diferentes formas por las que pasó el signo de sustracción y las diversas letras que los matemáticos utilizaron para indicar la diferencia entre dos elementos.
Para los indios, como se encuentra en la obra de Bhaskara12, el signo de sustracción consistía en un simple punto colocado sobre la cifra que constituye el sustraendo.
La letras M, algunas veces m, se usó durante un largo período por los algebristas italianos, para indicar sustracción: Luca Pacioli, además de emplear la letras m, colocaba entre los términos de la sustracción, la expresión DE, abreviatura de demptus.
Piensan algunos autores que el símbolo menos (-), tan extendido y tan simple, corresponde a una forma límite que tendría la letra m cuando se escribe rápidamente.
Quiere cortarla en dos pedazos iguales para obtener una pieza rectangular que tenga 1,20 m de largo por 0,20 m de ancho.
Nícolás Henri Abel, noruego, hijo de un pastor protestante, a los 16 años de edad hacía investigaciones sobre el problema de la resolución de ecuaciones de quinto grado.
Una resta hecha hace más de mil años Ilusión Adivinanza matemática Origen del signo de multiplicación (x) La plaza cuadrangular El símbolo de los pitagóricos (Rouse Ball) La matemática (Pedro Tavares) El problema de las abejas El uso de las letras en el cálculo (A.
Lisboa) La matemática en la literatura, círculos y ejes Tales y la vieja Ilusión óptica El fin de la ciencia (Jacobi) El problema de la piscina La noción del infinito (J.
Tannery) Los grandes geómetras Disposición curiosa Un Papa geómetra Círculos diferentes Las noventa manzanas Superficie y recta Paradoja geométrica 64 = 65 Las cosas son números Números perfectos Un error de Anatole France Multiplicación rusa Un número grande El círculo Papel mural
y que a partir de la última carta obtenida, retroceda por el camino indicado por la flecha 2, tantas cartas como fueran las unidades del número pensado.
Podemos "adivinar" inmediatamente la carta a que la persona llegó, sin conocer el número pensado y sin ver, mucho menos, realizar las operaciones que acabamos de indicar.
Contamos 8 a partir de A (flecha 1), ella irá a parar a la carta C (siguiendo la flecha 2), ella irá a parar fatalmente a la carta indicada con una cruz.
Para saber la carta final se debe contar de B (flecha 2) tantas cartas cuantas fueren aquellas que estuviesen en línea recta fuera de la curva.
Conviene alterar siempre, después de cada adivinación hecha, no sólo el número de cartas dispuestas en línea recta como también el número de cartas que forman la curva.
Un propietario tenía un terreno exactamente cuadrado, ABCD, vendíó una cuarta parte a la prefectura, y esa cuarta parte, AGFE también tenía forma de cuadrado.
Jámblico, a quien debemos la revelación de este símbolo14, refiere que estando en de viaje cierto pitagórico, se enfermó en la posada en la que se había hospedado para pasar la noche.
Era pobre y estaba fatigado, más el posadero, hombre bondadoso, le prestó cariñosa asistencia e hizo todo lo posible para restituirle la salud.
Sospechando que iba a morir y sin poder pagarle lo que debía al posadero, el enfermo pidió una tabla y en ella trazó la famosa estrella simbólica.
Se presentó con el posadero y le pidió que la pusiera sobre el dintel de la posada de modo que pudiera ser vista por todos los transeúntes, asegurando que algún día su caridad sería recompensada.
un valor artístico, o mejor, estético, capaz de conferirle el derecho de ser cultivada por sí misma, tal como las numerosas satisfacciones y júbilos que esa ciencia nos proporciona.
    Indudablemente que en esta aseveración hay cierta exageración del escritor belga: el problema que las abejas resuelven puede ser abordado, sin gran dificultad, con los recursos de la matemática elemental.
la verdad que para esos pequeños y laboriosos insectos, resuelven un interesantísimo problema por un artificio que llega a deslumbrar la inteligencia humana.
La abeja procura, por tanto, obtener una forma de alvéolo que sea la más económica posible, o lo que es lo mismo, que presente el mayor volumen para la menor cantidad de material empleado.
Porque de los tres prismas regulares A, B y C construidos con igual porción de cera, el prisma hexagonal es el que presenta mayor volumen.
Dados tres prismas regulares de la misma altura A (triangular), B (cuadrangular), C (hexagonal), teniendo la misma área lateral, ¿cuál es el que tiene mayor volumen?
          Una vez determinada la forma de los alvéolos, era preciso cerrarlos, esto es, determinar el medio más económico de cubrir los alvéolos.
Maraldi, astrónomo del observatorio de París, determinó experimentalmente y con absoluta precisión, los ángulos de ese rombo y halló 109°28' para el ángulo obtuso y 70°32' para el ángulo agudo.
El físico Réaumur, suponiendo que las abejas eran guiadas en la construcción de los alvéolos por un principio de economía, propuso al geómetra alemán Koening en 1739, el siguiente problema:
Koening no conocía los resultados obtenidos por Maraldi y halló que los ángulos del rombo del alvéolo matemáticamente más económico debían ser 109°26' para el ángulo obtuso y 70°34' para el ángulo agudo.
15 La adopción de un fondo romboidal, en lugar de uno plano, genera una economía de un alvéolo cada 50 construidos.
Concluirían los hombres de ciencia que las abejas erraban, más entre el alvéolo que construían y el albero matemáticamente correcto había una diferencia extremadamente pequeña.
Algunos años después (1743) el geómetra Mac Laurin retomó nuevamente el problema y demostró que Koening estaba equivocado y que el resultado correcto eran los valores dados por Maraldi, 109°28' y 70°32', que correspondía exactamente a la construcción de las abejas.
Diofanto de Alejandría (300 a.C.) empleaba las letras como abreviación, pero solo tenía in simbolismo perfectamente sistematizado para una única cantidad, para las potencias hasta la sexta y para los inversos de esas potencias.
Los árabes de Oriente usaron símbolos algebraicos a partir de la publicación de "Aljebr walmukâbala" de Alkarismí (siglo IX) y los árabes de Occidente, a partir del Siglo XII;
El álgebra moderna sólo adquiere carácter propio, independiente de la aritmética, a partir de Viète, que sistemáticamente sustituyó el álgebra numérica por el álgebra literal o de símbolos.
Antiguamente se atribuía el origen de la palabra álgebra al nombre del matemático árabe Geber, pero en realidad su origen se halla en la operación que los árabes llaman aljebr.
Es interesante observar las formas curiosas e imprevistas que los escritores y poetas, indiferentes a las preocupaciones científicas, le dan a las expresiones matemáticas que utilizan.
Muchas veces, para no sacrificar la elegancia de una frase, el escritor modifica un concepto puramente matemático, presentándolo bajo un aspecto que está muy lejos de ser riguroso y exacto.
No sólo las formas esencialmente geométricas, sino que también muchas proposiciones algebraicas, visten los esqueletos de sus fórmulas con una indumentaria vistosa de literatura.
Veamos por ejemplo, como el señor Elcias Lopes, en su libro "Tela de Araña"17, describe la tarea complicada de un arácnido: En la medida que las devanaderas se desenrollan, se va tejiendo una filigrana de círculos concéntricos que se solapan, en una notable simetría, y ligados entre sí por una lluvia de rayos convergentes hacia un eje central.
El señor Elcias no ignora naturalmente que la araña aplica, en la construcción de su tela, principios de resistencia de materiales relativos a la distribución más económica de fuerzas de un sistema en equilibrio.
Y aún más: una araña haciendo figuras homotéticas demuestra perseguir ese "espíritu geométrico" que el naturalista Huber, de Génova, quería atribuir a las abejas.
A este respecto, pedimos a un profesor de Diseño, que trazase en una hoja de papel una figura formada por "círculos concéntricos que se solapan, en una notable simetría, y ligados entre sí por una lluvia de rayos convergentes hacia un eje central".
El eminente sacerdote y filólogo que formuló esa definición estaba lejos de imaginar que ella podría ser pasada por el crisol del severo rigor matemático.
Una noche paseaba el filósofo completamente absorto en la contemplación de las estrellas y, por no ha prestado suficiente atención al terreno que pisaba, cayó descuidado dentro de un gran hoyo.
El fin único de la ciencia es la honra del espíritu humano, y tanto vale, al final, una cuestión sobre la teoría de los números como un problema sobre el sistema del mundo.
      La dirección del club resolvíó aumentar la piscina tornando la dos veces mayor y sin alterar su forma esto es, conservando la forma de un cuadrado.
La noción de infinito, del que es preciso hacer un misterio en matemática, se resume en el siguiente principio: después de cada número entero existe siempre otro.
fue maestro y amigo Alejandro, y dejó un gran número de obras de historia natural, lógica, física, matemática, política,  etc.
  notaremos una deposición curiosa: para pasar de 16 (cuadrado de cuatro) a 1156 (cuadrado de 34) es suficiente colocar el 15 entre los dígitos de 16.
Ya descubrimos una deposición curiosa que presentaban los dígitos que formaban los cuadrados de los números 4, 34, 334, 3334, etc.
Un campesino tenía tres hijas y como quisiese, cierta vez, hacer una prueba de inteligencia a las jóvenes, las llamó y les dijo:
María deberá vender siete manzanas por un tostão20, las otras deberán vender también por el mismo precio, es decir siete manzanas por un tostão;
La condición por mi impuesta es esa: María de vender 50, Clara debe vender 30, y Lucía sólo podrá vender 10.
Y como las jóvenes se sintieron atrapadas, resolvieron consultar el complicado problema, con el profesor de la escuela que vivía en la vecindad.
Clara, obligada vender por el mismo precio, vendíó 28 por 400 reales quedándose con un resto de dos manzanas.
Clara según la condición impuesta por su padre, vendíó las dos manzanas que todavía tenía por el nuevo precio, es decir 300 reales cada una, obteniendo 600 reales, y Lucía vendíó sus tres manzanas restantes por 900 reales, es decir, a 300 reales cada una.
Los conceptos de "superficie" y de "recta" que los geómetras aceptan sin definición, aparecen en el lenguaje literario como si tuviesen el mismo significado.
Los algebristas demuestran realmente, la existencia de una recta cuyos puntos están infinitamente apartados de nuestro universo y que se denomina, por causa de ciertas propiedades, "recta al infinito".
En ese caso sin embargo, sería conveniente abandonar la superficie y adaptar el alma a una especie de geometría "filosófica" unidimensional.
Además, conviene acentuar a pesar de lo poco apropiado del lenguaje que notamos en Peregrino Júnior, no llega a constituir un error en matemática.
¿No vemos, por ejemplo, Euclides da Cunha, escritor e ingeniero, hablar en "círculo irregular" expresión que no tiene sentido para un geómetra?
Tomemos un cuadrado de 64 cajas (8 x 8) y hagamos la descomposición de ese cuadrado, como indica la figura, en trapecios rectangulares y en triángulos.
    Reunidos esos trapecios y triángulos como vemos en la figura II, vamos a obtener un rectángulo de 13 por la base y 5 de altura, esto es un rectángulo de 65 cajas.
Ahora, como el rectángulo de 65 cajas fue formado por las partes en que descompusimos el cuadrado, el número de cajas del rectángulo debe ser precisamente igual al número de cajas del cuadrado.
Al nombre de Pitágoras se prende la explicación de todo por medio de los números, en una célebre fórmula de la escuela, que era toda una metafísica, proclamaba que "las cosas son números".
La denominación de números perfecto es dada a un número entero cuando ese número es igual a la suma de sus propios divisores, excluyéndose, claro está, de entre esos divisores, el propio número.
    1 + 2 + 4 + 7 + 14 =28
Paulprotena vainement ses regarás du zenith au nadir, du couchant au levam quand tout á coup ses yeux rencontrérent l'abbé d’Antinoé.”
Todo el mundo sabe que no es posible mover los ojos desde el cenit al nadir, dado que para un observador cualquiera que sea, el nadir se ubica en el hemisferio celeste invisible.
Los antiguos campesinos rusos atribuyen algunos matemáticos un proceso especial de multiplicación, proceso que nada tiene de simple pero que presenta un aspecto curioso.
Vamos a suponer que movidos por una desmedida excentricidad, resolvemos aplicar el sistema ruso para obtener el producto del número 36 por el número 13.
52     Vamos a repetir esta misma operación que es, calcular la mitad del número de la izquierda y el doble del número de la derecha.
  Sumando los números (x), que corresponden a los términos impares de la columna de la izquierda, obtenemos el resultado 1440, que expresa el producto de 45 por 32.
El llamado "proceso de los campesinos rusos", que acabamos de indicar, no pasa de ser una simple curiosidad aritmética, pues el proceso que aprendemos en nuestras escuelas puede ser muy burgués pero no deja de ser muchísimo más simple y práctico.
que contiene el único dígito, 9, si fuese calculado y escrito con dígitos de tamaño común tendría cerca de 140 km de largo.
"Durante muchos siglos, escribe Raúl Breicard, nadie podría dudar que siendo el universo perfecto, las órbitas de los astros no fuesen rigurosamente circulares".
  "Devant le mouvement périodique d'un point que décrit un cercle, l'instinct métaphysiques s'est ému il a conçu cet infini fermé qu'est l'Eternel Retour, et l'on ne saurait dégager d'images tournantes la doctrine antique dont Nietzsche s'est naïvement cru le père"24.
  Hay un evidente contraste entre la facilidad con la que se define la circunferencia y la dificultad, hasta ahora, inextricable, que nos enfrentamos cuando tratamos de formular la definición de recta.
Cuando un individuo desocupado tira piedras en un agua tranquila, para admirar los círculos concéntricos que se forman en la superficie, revela sin querer a través de su extraña ciclolatría, una acentuada tendencia de llegar a parecerse a un filósofo pitagórico que pretendía construir el universo, únicamente con círculos25.
No menos interesante es la observación que sigue del trazado de la recta y del círculo: para trazar un segmento de recta es indispensable una buena regla;
Mantuvo relaciones de amistad con Napoleón a quien le dedicó no solo su obra matemática principal sino que también muchas de las producciones poéticas que dejó.
El general Curvino Krukowiski, después de obtenida su reforma y habiéndose retirado a Palibino, con la familia, mandó a forrar de papeles las paredes de su nueva residencia.
Como el papel que dispónía era insuficiente para forrar las paredes del cuarto de sus dos hijas recurríó a las hojas de un tratado del cálculo infinitesimal por el cual Krukowiski había estudiado esa rama de matemática.
Ese incidente fortuito fue la chispa que encendíó una explosión de conceptos de alta matemática, un cerebro genial de mujer: la joven Sofía Curvino29, hija del general, volvíó toda la proverbial curiosidad de su sexo hacia aquel mundo infinitamente pequeño, y tan infinitamente grande de belleza y sugestiones que adornaban las paredes del cuarto.
Sofía ansíó el conocerlo, tratando así mismo de comprender la potentísima lengua que los símbolos hablan y que pocos saben realmente interpretar.
De todas esas ramas de la ciencia, trató con gran maestría "presentando conocimientos nuevos, explorando teorías nuevas, con una originalidad que dio a la geometría el más alto puesto en la historia".
Backheuser) Blasfemia de un rey Ilusión óptica La matemática en la literatura, los ángulos La geometría en el amor Grandes geómetras Las perlas del rajá División áurea Porcentaje Transformación curiosa Muerte trágica de algunos matemáticos Leibniz Los grandes geómetras El hombre que calculaba (Malba Tahan) El problema de la pista Rectángulo áureo Las potencias de 11 Ilusión óptica Los grandes geómetras Origen de los signos de relación Protágoras y el discípulo Con seis palitos La bravata de Arquímedes (J.
La imaginación del escritor cuando procura dar vivacidad y colorido una descripción no se preocupa ni aun de las figuras geométricas más simples.
Ese célebre escritor francés autor de Genie du Christianisme, al describir el prodigio de un canadiense que encantaba serpientes al sonido de una flauta, dice precisamente lo siguiente:
A medida que la dominada por el efecto mágico sus ojos perdían la aspereza, la vibraciones de su cola tornábanse más lentas y el ruido que ya emitía disminuía lentamente hasta extinguirse.
"Menos perpendicular sobre su línea espiral las curvas de la serpiente encantada venían una a una a posarse sobre la tierra en círculos concéntricos (Genie du Christianisme, parte I, libro III, capítulo II)"
    ¿Cómo dividir el terreno en cinco partes iguales, en forma y el tamaño, de modo y cada una de esas partes, contengan el mismo número de árboles?
Frecuentemente se presentan a los niños y niñas problemas cuya verificación no son hechos de la vida práctica diaria y es señal de mal profesor, el que los fórmula.
Como ejemplo de este caso podemos recordar los famosos problemas sobre "construcción de un muro" o sobre "fábrica de tela" por cierto número de operarios.
Sea por ejemplo: tres operarios hacen un muro de 40 m de largo, 2 m de altura y
¿cuántos días serán necesarios para que cuatro operarios ejecuten un muro de 35 m de largo, 1,5 m de altura y 20 cm de espesor?
El resultado aritmético de esa "regla de tres", dará evidentemente, una solución expresada por un número de días inferior a 15.
Ahora bien, cualquier albañil se reírá del resultado, porque para hacer un muro de 20 cm en lugar de 25 cm de espesor, gasta mucho más tiempo.
para un espesor de 20 cm, que es un poco menor, es obligatorio quebrar los ladrillos según el espesor deseado, lo que va exigir, para la ejecución de la obra, un tiempo mucho mayor.
La misma disparidad entre la solución matemática y la solución real ocurre con un problema relativo a una fábrica de tela: "si tantos operarios hacen cierto número de metros de paño de 1,5 m de ancho en un determinado tiempo, ¿en cuánto tiempo, manteniéndose las otras condiciones, se fabrica un paño de 20 cm de ancho?".
El resultado aritmético sería de menos de la mitad del tiempo, al paso que en la práctica el tiempo es rigurosamente el mismo, porque el telar no trabaja más rápidamente, en función del ancho del tejido.
  Se cuenta que en el Siglo XIII, Alfonso el Sabio, rey de Castilla, habían ordenado a los astrónomos árabes que construyeran tablas de los movimientos planetarios, las halló muy complicadas y exclamó: " si Dios, antes de crear el mundo, me hubiese consultado, habría hecho mejor las cosas".
No endosamos la blasfemia al rey de Castilla, y repetiremos más modestamente, la frase del gran matemático Galois, que algunas horas antes de su muerte prematura, escribiera en una especie de testamento: "La ciencia es la obra del espíritu humano, que está diseñado principalmente para el estudio del saber, de buscar la verdad, más que para encontrarlo"
  "Las líneas del camino formaban ángulos agudos y obtusos en las laderas de la montaña, que subía intrincado y ardiente".
Madame de Staël, recordando más tarde este caso, observó: "de este modo, reconocí que su amor fue disminuyendo, en la proporción exacta de la diagonal sobre los dos lados del cuadrado".
Con esa observación, de forma puramente matemática, quería, tal vez la autora de Delphine, revelar sus conocimientos sobre una famosa proposición de la geometría: "la relación entre la diagonal y uno de los lados del cuadrado es igual a la raíz cuadrada de dos".
Un rajá dejó para sus hijas cierto número de perlas y determinó que la división fuese hecha del siguiente modo: a la hija mayor le daría una perla y 1/7 de lo que restase;
  Dividiendo la parte mayor (60 cm) por la menor (20 cm), obtenemos: 60 : 20 = 3
En el ejemplo propuesto, la solución será obtenida si dividimos el segmento de 80 cm en dos parte midiendo respectivamente 49,3 centímetros y 30,7 cm.
  La división de un segmento hecha según esa proporción se denomina división áurea, o división en media y extrema razón.
"Para que un todo dividido en dos partes desiguales parezca bello desde el punto de vista de la forma, debe presentar entre la parte menor y la parte mayor, la misma relación que entre ésta y el todo".
Zeizing, que llevó adelante muchos y largos estudios, apunta varios interesantes ejemplos que constituyen una elocuente demostración del principio de la sectio Áurea.
Es fácil observar que el título puesto a esta importante obra, divide, en general, el total del libro en media y extrema razón.
Lo mismo acontece con la línea de los ojos que divide, en personas bien formadas, el ancho total del rostro en media y extrema razón.
Leonardo da Vinci, como una polimorfía de su incomparable talento, se sintió también seducido por el misterio de la llamada simetría geométrica, realzada por la división áurea.
"esto es, en el juego de esas transacciones, que tan gigantesca suma de valores representan, no mueve la oferta de dinero, sino en la proporción de 8 a 92."
¿Es posible transformar el dígito 3, escrito a la izquierda, en un 5 (escrito a la derecha), con el auxilio de sólo una línea cerrada, esto es sin levantar el lápiz del papel?
      La solución, es muy simple, y en la dada en la figura de arriba: se prolonga el extremo superior del dígito 3 en forma de un rectángulo;
Leibniz En su elogio de Leibniz, Fontenele dice del gran geómetra y filósofo: "le gustaba ver crecer en los jardines de los demás, las plantas cuyas semillas el había proporcionado.
al ser informado de la aparición de una estrella de gran brillo, resolvíó componer un catálogo en el cual consiguió reunir 1080 estrellas fijas.
  Cierta vez volvía, al paso lento de mi camello, por el camino de Bagdad, de una excursión a la famosa ciudad de Samarra, en las márgenes del Tigris, cuando vi, sentado en una piedra, a un viajero modestamente vestido, que parecía reposar de las fatigas de algún viaje.
- Dispóníame a dirigir al desconocido el "salam" trivial de los caminantes, cuando con gran sorpresa le vi levantarse y pronunciar lentamente:
Me paré a corta distancia y me puse a observarle como lo habría hecho frente a un monumento histórico de tiempos legendarios.
Y así, varias veces, el extravagante viajero, puesto de pie, decía un número de varios millones, sentándose en seguida en la tosca piedra del camino.
Sin saber refrenar la curiosidad que me aguijoneaba, me aproximé al desconocido, y después de saludarlo en nombre de Alah (con Él en la oración y en la gloria), le pregunté el
– respondíó el “Hombre que calculaba”-, no censuro la curiosidad que te llevó a perturbar la marcha de mis cálculos y la serenidad de mis pensamientos.
Fui, así, adquiriendo, poco a poco, tal habilidad para contar que, a veces, instantáneamente, calculaba sin error el rebaño entero.
Al cabo de algunos meses –gracias a nuevos y constantes ejercicios-, contando hormigas y otros pequeños insectos, llegué a practicar la increíble proeza de contar todas las abejas de un enjambre.
Mi generoso amo, que poseía, en dos o tres oasis distantes, grandes plantaciones de dátiles, informado de mis habilidades matemáticas, me encargó de dirigir su venta, contándolos yo uno por uno en los cachos.
Contento con las ganancias que obtuvo, mi bondadoso patrón acaba de concederme algunos meses de descanso, y por eso voy ahora a Bagdad pues deseo visitar a algunos parientes y admirar las bellas
37 Khamat de Marú , ciudad situada en la base del monte Ararat, Khoy, situada en el valle del mismo nombre y bañada por las aguas que descienden de las montañas de Salmas.
Y para no perder el tiempo, me ejercito durante el viaje, contando los árboles que dan sombra a la regíón, las flores que la perfuman y los pájaros que vuelan en el cielo, entre las nubes.
Sabiendo que cada rama tiene, término medio, trescientas cuarenta y siete hojas, se deduce fácilmente que aquel árbol tendrá un total de noventa y ocho mil quinientas cuarenta y ocho hojas.
–preguntó Beremís-, ¡Jamás pasó por mi imaginación que pudiera ganarse dinero contando los millones de hojas de los árboles o los enjambres de abejas!
Yo os aseguro –por las relaciones que mantengo, pues soy bagdalí38 , que no os sería difícil obtener una posición destacada junto al glorioso califa Al-Motacen (nuestro amo y señor).
De ahí en adelante, ligados por ese encuentro casual en medio del agreste camino, nos hicimos compañeros y amigos inseparables.
Joven aún –pues no tendría veintiséis años-, estaba dotado de gran inteligencia y notable aptitud para la ciencia de los números40  .
Formulaba, a veces, sobre los acontecimientos más banales de la vida, comparaciones inesperadas que denotaban gran agudeza de espíritu y verdadero talento matemático.
En esas oportunidades me esforzaba por no perturbarlo, quedándome quieto, a fin de que pudiera hacer, con los recursos de su memoria privilegiada, nuevos descubrimientos en los misteriosos arcanos de la Matemática, ciencia que los árabes tanto cultivaron y engrandecieron.
  Hacía pocas horas que viajábamos sin interrupción, cuando nos ocurríó una aventura digna de ser referida, en la cual mi compañero Beremís puso en práctica, con gran talento, sus habilidades de eximio algebrista.
Encontramos, cerca de una antigua posada medio abandonada, tres hombres que discutían acaloradamente al lado de un lote de camellos.
40 No pocos fueron los matemáticos que se hicieron notables por la precocidad con que revelaron sus aptitudes: Blas Pascal, a los 16 años escribíó un tratado sobre las cónicas;
Según la expresa voluntad de nuestro padre, debo yo recibir la mitad, mi hermano Hamed Namir una tercera parte, y Harim, el más joven, una novena parte.
No sabemos sin embargo, como dividir de esa manera 35 camellos, y a cada división que uno propone protestan los otros dos, pues la mitad de 35 es 17 y medio.
Me encargaré de hacer con justicia esa división si me permitís que junte a los 35 camellos de la herencia, este hermoso animal que hasta aquí nos trajo en buena hora.
Fue tal la fe y la seguridad con que me habló, que no dudé más y le entregué mi hermoso “jamal”41, que inmediatamente juntó con los 35 camellos que allí estaban para ser repartidos entre los tres herederos.
ti, joven Harim Namir, que según voluntad de tu padre debías recibir una novena parte de 35, o sea, 3 camellos y parte de otro, te daré una novena parte de 36, es decir, 4, y tu ganancia será también evidente, por lo cual sólo te resta agradecerme el resultado.
Por  esta ventajosa división   que ha favorecido a todos vosotros, tocarán 18 camellos al primero, 12 al segundo y 4 al tercero, lo que da un resultado (18 + 12
El astuto beremís –el “Hombre que calculaba”- tomó luego posesión de uno de los más hermosos “jamales” del grupo y me dijo, entregándome por la rienda el animal que me pertenecía: Podrás ahora, amigo, continuar tu viaje en tu manso y seguro camello.
Habiendo aumentado el dividendo a 36, el sobrante resultó entonces 1/18 de 36, o sea los dos camellos referidos en el reparto hecho por el “Hombre que calculaba”.
El desventurado sheik narró, minuciosamente, al poderoso ministro todo lo que le ocurriera en el camino, haciendo los mayores elogios respecto de nosotros.
43 Sheik – término respetuoso que se aplica, en general, a los sabios, religiosos y personas respetables por la edad o posición social.
Quiero llevarte ahora mismo al palacio, pues el Comendador de los Creyentes desea, con seguridad, ser informado de esta nueva afrenta que lo beduinos practicaran, al matar a nuestros amigos saqueando caravanas dentro de nuestras fronteras.
tuvo, pues, que emplearse como pastor, pasando a servir más tarde como guía para las caravanas, entrando, por fin, al servicio de una prima viuda y rica, llamada Cadidja.
El gran visir, después de hacer los mayores elogios al “Hombre que calculaba”, ordenó que le fueran entregadas las 7 monedas, pues a mí sólo me tocaba, por derecho, 1.
demostró tener derecho a 7 y su compañero a 1, acabando por dividir las 8 monedas en dos partes iguales, que repartíó con su amigo.
Poderoso visir –le dijo el “Hombre que calculaba”-, veo que acabáis de hacer, con 29 palabras y un total de 145 letras, el mayor elogio que oí en mi vida, y yo, para agradecéroslo, me veo en la obligación de emplear 58 palabras en las cuales figuran nada menos que 290 letras, el doble de las vuestras47, precisamente.
Cuatro hombres que poseían caballos de carrera, tenían sus casas en los puntos A, B, C y D. Ellos decidieron construir una pista circular para carreras.
      Para que no hubiese discusiones decidieron que la pista pasara a igual distancias de sus respectivas casas.
Encontramos el rectángulo áureo, conforme observó Timerding, en el formato de la mayor parte de los libros, los cuadros, las pequeñas barras de chocolate, las tarjetas postales, los sellos, etc.
Encontramos el rectángulo áureo en las fachadas muchas casa y edificios, que se distinguen por la elegancia de sus líneas arquitectónicas y en el formato de casi todos los diarios y revistas.
  Vale la pena observar que el número de nueves de la izquierda es igual al número de ceros de la derecha, que se sitúan entre los dígitos 8 y 1.
      Todas las curvas principales del diseño son círculos que tienen su centro en el centro de la figura.
Roberto Récord, matemático inglés, tendrá siempre su nombre anotado en la historia de la Matemática, por haber sido el primero en emplear el signo = (igual), para indicar una igualdad.
El signo > (mayor que) y < (menor="" que)="" se="" deben="" a="" tomás="" harriot,="" que="" contribuyó="" mucho="" con="" sus="" trabajos="" al="" desarrollo="" del="" análisis="" algebraico.="">
Si he de ganar, mi ex discípulo estará obligado a pagarme pues la sentencia me favorece, si he de perder, mi ex discípulo también debe pagarme, en virtud de nuestro contrato, pues habría ganado su primera causa.
Enatlus, que era muy talentoso, al darse cuenta que su antiguo maestro quería vencerlo mediante un hábil sofisma, pidió también la palabra, y dijo así a los miembros del tribunal:
El sofisma de Protágoras consistía en lo siguiente: cuando convénía a sus intereses, hacía valer el contrato, y cuando este podía perjudicarlo de cualquier modo, pretendía hacer valer la sentencia.
Mandó Hierón de Siracusa construir una embarcación de grandes dimensiones, el que, debido a su considerable peso, no podía ser retirado del astillero para ser botado al mar.
Éste, utilizando un artilugio inventado con ese propósito, consiguió ante la sorpresa de todos, aflojar la pesada nave, levantarla con relativa facilidad y echarla al mar.
Se cuenta que al recibir las felicitaciones del rey, por el éxito de sus esfuerzos, el geómetra respondíó, con una frase que encierra una bravata célebre en la ciencia:
Según ha calculado Ferguson, en su Astronomía Explicada, un hombre, pesando 80 kilogramos, y con una palanca de 20 quintillones de kilómetros, al cabo de veinte millones de años, haría desplazarse a la tierra en solo 25 milímetros...
Modernamente, sin embargo, el estudio de la geometría y de la matemática en general tiene un gran interés práctico por la aplicación de sus verdades a problemas vitales de ingeniería, arquitectura, física y de todas las otras ciencias.
Cierta vez, ya hace algunos años, en ocasión de un congreso científico, al fin de un almuerzo en el que se encontraban varios matemáticos conocidos, algunos de ellos ilustres, pertenecientes a distintas nacionalidades, Eduardo Lucas, les anunció, inesperadamente, que les iba a proponer un problema de matemáticas, y de los más difíciles.
Supongamos que, comenzó diciendo el ilustre geómetras, e infelizmente es una simple suposición, todos los días a mediodía, parte de El Havre hacia Nueva York, un navío y que a la misma hora, sale otro de de la misma compañía, desde Nueva York hacia El Havre.
          Es pues cierto, que un vapor, cuyo gráfico es AB, habiendo partido de El Havre el día 9, llega a Nueva York el día 16, encontrándose en el mar, con 13 barcos, más el que está entrando en El Havre, el día de su partida y más el que sale de Nueva York, el día de su llegada, esto es, 15 en total.
Una multiplicación, en general, se inicia por el dígito de más a la derecha del multiplicador, pero un calculista excéntrico podría, sin embargo, comenzarla por la izquierda, sin que por ello sea más trabajoso.
Además de eso, para obtener, en el segundo caso, las correspondencias de unidades, es preciso avanzar cada producto parcial hacia la derecha, en relación al producto anterior y en el otro caso, debe avanzarse hacia la izquierda, como se hace comúnmente.
    Para efectuar esta curiosa experiencia, basta colocar el cuchillo sobre el 2, precisamente en el centro.
Así pues, si una ecuación, que traduce cierta ley, viene a revelarnos una propiedad nueva, la curva representativa de esa ecuación realza la incomparable "belleza de ea verdad".
Origen del signo de división (:) La mujer que se sacrificó por la belleza de la ciencia (Luis Freire) 21.La numeración entre los salvajes (Raja Gabaglia) La geometría Los grandes geómetras (Omar Khayyam) 24.Relatividad (Amoroso Costa)
El historiador Josefo, gobernador de galilea, que resistíó estoicamente a los ataques de las legiones de Vespasiano, siendo finalmente vencido, se refugió en una caverna con 40 judíos patriotas.
La solución de este problema puede ser obtenida fácilmente con el auxilio de un dispositivo práctico: basta escribir en círculo 41 números, y comenzando por el primero, cancelar con una raya, de tres en tres.
Después de pasar por todo el cuadro, se continúa del mismo modo, sólo considerando aquellos números que no están tarjados, porque ellos pasan a representar a los soldados muertos.
Terminado el trabajo, se ve que solo dos judíos escapan de esta muerte atroz, los que se hallaban en las posiciones 16 y 31.
Ptolomeo Soter, rey de Egipto, fundador de una dinastía notable, resolvíó crear en Alejandría un centro de estudios, capaz de rivalizar con las escuelas griegas más notables como las de Platón y Pitágoras.
La distribución de las materias que debían ser estudiadas en la academia, en la parte referente a la aritmética y geometría, fueron expuestas con claridad, precisión y también con simplicidad.
Sorprendido talvez, por el gran desarrollo que tenía su trabajo, el rey preguntó a Euclides, si no había otro camino más sencillo, menos espinoso, que le permitiera llegar al conocimiento de la geometría.
Esa mujer famosa, que comentó las obras de Diofanto, tuvo un fin trágico: fue asesinada por el populacho exaltado durante un motín ocurrido en las calles de Alejandría.
Cuando el rey tuvo la obra terminada, verificó que efectivamente pesaba 10 libras, pero el color le sugirió la idea los orfebres habían mezclado el oro con plata.
Arquímedes, habiendo hallado que el oro pierde, sumergido en agua, 52 milésimos de su peso, y la plata, 99 milésimos de su peso, determinó el peso de la corona sumergida en agua y halló que era de 9 libras y 6 onzas;
Hay, en relación a este problema, una leyenda mucho más curiosa>: Se cuenta que Arquímedes pensó mucho tiempo sin poder resolver el problema propuesto por el rey Hierón.
Un día, estando en el baño, descubríó el modo de solucionarlo, y entusiasmado, salíó corriendo al palacio del monarca, gritando por las calles de Siracusa, ¡Eureka, eureka!, lo que quiere decir ¡lo hallé, lo halle!
Admitía que la Tierra era fija y localizada en el centro de nuestro sistema, escribíó una obra para probar que el espacio no podía tener más de tres dimensiones.
Aparte del caso de la corona de Hierón, el episodio, sin dudas, el más citado de la carrera de Arquímedes fue el del aparato formado por espejos cóncavos, con el cual, por la concentración de los rayos solares, consiguió incendiar los navíos romanos que pasaban cerca de su alcance, haciendo incidir sobre ellos "un rayo ardiente y destruidor".
Siracusa sólo fue tomada porque cierto día, ocupados en una fiesta solemne en homenaje a Diana, los habitantes dejaron desguarecido uno de los lados de la muralla.
Los romanos, que la víspera habían sufrido un serio revés, se aprovecharon del descuido e invadieron la ciudad, que fue así, tomada y sometida a saqueo.
Se cuenta que Arquímedes estaba absorto en el estudio de un problema, para cuya solución había trazado una figura geométrica en la arena.
Irritado por no ser inmediatamente obedecido, el sanguinario romano, de un golpe de espada, postró sin vida al mayor sabio de su tiempo.
Marcelo, que había dado órdenes en el sentido de cuidar la vida de Arquímedes, no ocultó el pesar que sintió al saber la muerte del genial adversario.
Sobre la losa de su tumba que erigíó, Marcelo mandó grabar una esfera escrita en un cilindro, figura que recordaba un teorema del célebre geómetra.
Arquímedes, cuyo nombre es un patrimonio de la ciencia, probó cuanto puede la inteligencia humana puesta al servicio de un genuino patriotismo.
  Un curioso de las transformaciones numéricas observó que los dígitos mudaron de posición de modo de permitir que el 6 pudiese aparecer en el producto.
Entre los cuerpos redondos, encontramos el tronco de cono citado con admirable precisión por Menotti del Picchia en el romance Laís: "alrededor, los chiquillos le habían la nieve azucarada enconos truncados de beiju" (p.13, 5ta ed.)
      La expresión 2 - 2 puede ser escrita de la forma 2(1 - 1), y la diferencia 3 - 3 es equivalente a 3(1 - 1).
  Observación El error del sofisma consiste en dividir los miembros de un igualdad por 1 -1, esto es por 0, operación que no está permitida en álgebra.
  Es evidente que las definiciones en livianas no pueden resistir a una crítica medianamente severa, por eso que no satisfacen los requisitos que se exigen para una buena definición.
Los conceptos de largo y de ancho, los cuales Euclides utilizó para definir la recta, no pueden ser comprendidos sin que previamente se haya fijado el concepto general de línea51.
Es interesante señalar, sin embargo, las diversas interpretaciones dadas por los autores a las definiciones del geómetra griego.
La fijación de realidades iniciales en que se detiene el trabajo del sabio, el principio racional se ejerce siempre bajo la forma negativa, reservando a la experiencia, el papel positivo.
Que desde inicio de la especulación geométrica, la experiencia halla intervenido de modo decisivo, es lo que testimonia la definición de recta conservaba
51 La llamada definiciones euclidianas no pasan, al fin y al cabo, de descripciones más o menos imperfectas,  basadas en datos intuitivos
52 Encontramos en Ugo Amaldi, La retta é quella línea che giace sui suai punti in modo uniforme.
Ma sonó sen'zaltro manifesti i difetti che essa presenta, se non é associam ad un opportuno sistema di postulati, i quali determinando, independentemente della retta N concetto di lunghezza, rendendo possibile il confronto, rispeito di lunghezza di linee diverse e siabiliscano l'‘esistenza e 1'ucinita dei mínimo, Ugo Amaldi, op.
"A fin de asegurar la rectitud de la línea trazada, sea ya de tal forma que  el ojo es la extremidad de la línea como hace un sargento para aliviar sus hombres.
Leibniz daba para la recta una definición basada en la idea del movimiento: "la recta es una línea tal que basta que inmovilicemos dos puntos para que todo los otros puntos, también queden inmóviles55".
recta es una línea que es dividida por un punto en dos partes iguales recta es la línea que divide el plano en dos partes que coinciden por superposición
  Esta última, atribuida a Leibniz, presenta el grave inconveniente de subordinar la definición de recta al concepto de plano;
Por los cuadros que damos en la página siguiente, podemos observar las curiosas transformaciones de los símbolos de los cuales nos servimos de los símbolos de los que nos servimos en el cálculo.
55 La línea no podrá ser definida si no por sus propiedades, para la comprensión de las cuales se torna indispensable una apelación a la intuición directa.
          Ya en el Siglo XV, como podemos observar en la tercera línea, los dígitos tienden a formas más simples;
Los visires le observaban atónitos y se miraban entre ellos pasmados frente la apatía de Sessa, de cara a la libre expresión de codicia que se le permitía.
Nada deseo por el presente que hoy el traje, otra recompensa, más allá de la satisfacción de haber proporcionado al señor de Taligana un pasatiempo agradable y que le viene a aligerar las largas horas de tristeza abrumante.
Para que un hombre pueda vencer los múltiples obstáculos que le presentará la vida, necesita tener un espíritu enraizado en una ambición que le encamine a cualquier ideal.
Te ruego, ¡oh rey!, de acuerdo con tu magnánima oferta que autorices el pago en granos de trigo tal como lo indiqué.
No solo el rey sino que también los visires y los venerados brahmanes presentes en el salón, se rieron estrepitosamente al oír la extraña solicitud del tímido inventor.
¡El joven brahmán, que habría podido obtener del rey un palacio o una provincia se contentaba con algunos granos de trigo!
Debes comprender por lo tanto que con dos o tres medidas de trigo, yo te pagaré holgadamente de acuerdo a su pedido, por los 64 escaques del tablero.
Es cierto pues, que pretende es una recompensa que mal llegará a distraer el hambre del último paria57 de mi reino, por algunos días.
Los sabios matemáticos, al cabo de algunas horas de profundos estudios, volvieron al salón para hacer conocer al rey el resultado completo de sus cálculos.
Rey magnánimo, declaró el más sabio de los geómetras: calculamos el número de granos de trigo que constituirá la recompensa elegida por Sessa, y obtuvimos un número cuya magnitud es inconcebible para la imaginación humana.
Hallamos en seguida, y con la mayor exactitud, a cuántos sacos correspondería ese número total de granos, y llegamos a la siguiente conclusión: la cantidad de trigo que debe entregarse a Lahur Sessa equivale a una montaña que teniendo por base la ciudad de Taligana, fuese 100 veces más alta que el Himalaya.
La India entera, sembrados todos sus campos, y destruidas todas sus ciudades, no produciría en un siglo la cantidad de trigo que, por vuestra promesa, debe entregarse al joven Sessa.
Medita, ¡oh rey!, sobre la gran verdad que los brahmanes prudentes tantas veces repiten: los hombres más precavidos, eluden no solo la apariencia engañosa de los números sino también la falsa modestia de los ambiciosos.
Y Lahur Sessa, distrayendo al rey con ingeniosas partidas de ajedrez y orientándolo con sabios y prudentes consejos, prestó los más señalados servicios a su pueblo y a su país, para mayor seguridad del trono y mayor gloria de su patria.
Algunos escritores de la Edad Media llegaron a negar la existencia de Euclides y con el admirable e ingenioso artificio lingüístico, explicaban que la palabra Euclides no pasaba de ser una corrupción de una expresión griega formada por dos palabras que significaban, respectivamente, llave y geometría.
  100 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 x 9
La figura obtenida será un cuadrado mágico cuando la suma de los números que figuran en una columna, o en una línea o sobre una diagonal, es siempre la misma.
Se cree que la construcción de esas figuras constituía, ya en una época remota, un pasatiempo que tomaba la atención de un gran número de curiosos.
Como los antiguos atribuían a ciertos números propiedades cabalísticas, era muy natural que diese en virtudes mágicas en los arreglos especiales de esos números.
  Los cuadrados mágicos de módulo impar, escribe Rouse Bali58, fueron construidos en la India en un período anterior a la era cristiana e introducidos por Moschopoulos, aparecieron en Europa en los primeros años del Siglo XV.
El famoso Cornelio Agripa (1486 - 1535) construyó cuadrados mágicos con los módulos 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, que representaban simbólicamente, los siete astros que los astrólogos de aquellos tiempos denominaban planetas: Saturno, Júpiter, Marte, Sol, Venus, Mercurio y la Luna.
Para él el cuadrado con una casilla (módulo 1) teniendo en esa única casilla el número 1, simbolizaba la unidad y la eternidad de Dios, y como el cuadrado con 4 casillas no podía ser construido, él infería de ese hecho la imperfección de los cuatro elementos: el aire, la tierra, el agua y el fuego;
Los orientales, que observaban todos los hechos corrientes de la vida bajo un prima de superstición, creían que los cuadrados mágicos eran amuletos y servían de
Cuando un cuadrado mágico presentaba cierta propiedad como, por ejemplo, de poder descomponerse en varios cuadrados mágicos, entonces se denomina cuadrado hipermágico.
En 1693, Frenicle de Barry publicó un estudio sobre los cuadrados mágicos, presentando una lista completa de 880 cuadrados mágicos de módulo igual a 9.
Entre los que contribuyeron en el desarrollo de la teoría de los cuadrados mágicos, debemos citar a Euler, que consagró varias memorias a esa curiosa recreación matemática.
de Kovalewski, cuenta que oyó de la esposa de Kownigsberger, el primer profesor de Sofía: "Me decía que Sonja había estado en su casa poco tiempo después de ser coronada por la Academia de Ciencias de París, y que debiendo estar llena de satisfacción y orgullo por haber conseguido una distinción tan elevada, que muchos hombres desean y pocos la consiguen, estaba triste y desalentada, llegando a decir que las mujeres no debían ocuparse de las cosas de la ciencia, que su destino natural es otro, que las matemáticas son mucho más arduas para los cerebros femeninos y, en fin, que la ciencia no le daba la felicidad".
tenía la fisonomía viva y dulce, ojos maravillosos y lindos cabellos, pero últimamente había perdido muchos de sus encantos a causa de una dolencia nerviosa, resultado de los esfuerzos exagerados que hiciera para vencer las dificultades de las cuestiones tan elevadas que se ocupó;
se tornó un poco duro, los ojos habían disminuido de brillo y los cabellos mal peinados habían perdido su antigua belleza".
Causa dolor ver una mujer de tanto valor, después de haber sacrificado a la ciencia, su belleza, su salud y su alegría y aunque ya está cerca del fin de su vida, se lamenta por no haber sido verdaderamente mujer y exclamar, como un grito de dolor, que la ciencia no le trajo felicidad.
"La gloria de haber sido la discípula predilecta de Weierstrass la perdíó, porque tuvo que subir a regiones elevadas y difíciles de la ciencia, donde el trabajo exigíó de ella, meditación profunda y exacta, superior a sus fuerzas físicas.
"Como un maestro de menor valor, habría trabajado en campos científicos mas modestos, en que su espíritu, lleno de talento e imaginación, habría de cosechar resultados notables sin tan exagerado esfuerzo.
Para el número once, presentan las dos manos y muestran un pie, enunciando una frase que podríamos traducir uno del pie, y doce sería dos del pie;
pasando a diecisiete dirían dos del otro pie, y del mismo modo irían formando los otros números enteros, hasta veinte, que es tevin itóto, esto es, un indio.
En gran número de tribus brasileñas61: cairiris, caraíbas, carajás, coroados guakis, juris, omaguas, tupis, etc.
los omaguas usan la palabra púa, que significa mano, para expresar también el número 5 y con la palabra puapua indican diez;
De ese número (6) en adelante, se limitan a mostrar todos los dedos de la mano (como hacían con los primeros números) y después todos los dedos de los pies, estirándolos lentamente, dedo por dedo, demorándose en el dedo correspondiente al número.
Aún hay dudas relación a la existencia de vocablos especiales para esos primeros (uno, dos y tres), pues Von den Steinen declara que en su primer viaje oyó el numeral tres expresado por una palabra que significaba, propiamente, dos y uno;
pero mas tarde, en 1887, al realizar un segundo viaje, oyó el mismo número (3), indicado por otra forma, pero no consiguió establecer su etimología.
Poincaré) La geometría hace que podamos adquirir el hábito de razonar, y ese hábito pude emplearse, entonces, en la búsqueda de la verdad y ayudarnos en nuestra vida (Jacques Bernoulli) Entre dos espíritus iguales, puestos en las mismas condiciones, aquél que sabe geometría es superior al otro y adquiere un vigor especial (Pascal)
En primer lugar, destacaremos las traducciones que hicieron de las obras antiguas de los grandes filósofos y matemáticos griegos, ya que a través de ellas, iniciadas durante el reinado de Al- Mamum63, la Europa cristiana llegó a conocer a los genios de Arquímedes,  Ptolomeo, Euclides y Apolonio.
Y además de eso, los geómetras árabes enriquecieron la ciencia con un gran número de investigaciones y descubrimientos, cuya originalidad ha sido muchas veces acentuada por los historiadores.
Y el trabajo de la ciencia árabe solo consiguió alcanzar los centros de cultura de Occidente, después de haber sido vencido por la fuerza irresistible de su valor, la formidable barrera que la rivalidad religiosa hiciera surgir entre cristianos y musulmanes.
Más de una página deberíamos, talvez, consagrar en suplemento de esta nota, si nos dispusiéramos a citar los nombres de todos los grandes matemáticos árabes que se distinguieron y que son mencionados en la historia.
Sin embargo, juzgamos que sería más interesante dejar aquí algunos trazos biográficos de un algebrista famoso, Omar Khayyam, que es menos conocido como geómetra que como poeta.
Cuando aún era muy joven, frecuentaba el aula de un maestro de escuela cuya enseñanza se limitaba a hacer que los discípulos recitasen los 114 artículos (suratas) de El Corán66.
Cierta vez, por broma, hicieron los tres amigos un pacto: aquél que en el futuro ocupase un alto cargo, debería amparar y auxiliar a sus compañeros, de modo que los tres pudiesen participar de la misma prosperidad.
Omar Khayyam, que jamás se sentiría movido por la ambición ni por la gloria de las posiciones elevadas, rehúsó los ofrecimientos del poderoso visir y se limitó a aceptar un lugar modesto que le permitiese continuar tranquilamente los trabajos literarios y científicos de su predilección.
siguiente título: Memoire de sage excelient Ghyath Eddin Aboul Farth Ornar be Ibrahim Alkhayyami de Nichapour (¡que Dieu sanctifique son âmepecieuse!) sur les demonstrations des problèmes de l'Algêbre.
Si fuésemos transportados, junto con nuestros instrumentos de medida y con todos los objetos que nos rodean, a otra regíón del espacio, sin que variasen las distancias entre esos objetos, nada nos revelaría semejante mudanza.
La expresión "posición absoluta en el espacio", no tiene sentido alguno y solo se debe hablar de posición de un objeto en relación a otros.
Si todos los objetos fuesen simultáneamente aumentados o disminuidos en cierta proporción, lo mismo con nuestro cuerpo y con nuestros instrumentos, nos pasaría desapercibido: el nuevo universo sería indiscernible del antiguo.
Como dice admirablemente Anatole France: "Las cosas en si mismas no son ni grandes ni pequeñas, y cuando nos encontramos con el universo que es enorme, esa idea es puramente humana.
Sus trabajos son verdaderos modelos de arte del bien decir matemático: precisos, concisos, simples y elegantes, de esa elegancia matemática en que Poincaré veía "un sentimiento de belleza, de armónía de los números y de las formas, y que solo los verdaderos matemáticos saben adivinar".
Se nota, en todo lo que hacía Amoroso un especial cuidado de síntesis, que a muchos le podrá parecer exagerado, de aquella síntesis que a "una hora corresponden muchas de análisis".
La perfección lógica de sus trabajos es notable: siempre que podía, reducía al mínimo el número de principios independientes, y por ese trabajo de recurrencia que, en nuestra opinión, se puede medir su espíritu de elite.
a esta princesa le gustaba conversar con personas eruditas y las acogía con esa familiaridad noble que denota en los príncipes los sentimientos de una grandeza personal, independiente de sus títulos, y se había convertido en un personaje dentro de esa augusta familia: en tanto, la reina de Prusia que solo conseguía obtener monosílabos de Euler, le reprochaba esa timidez, esa vergüenza, que ella juzgaba no merecer: "¿Por qué no queréis, entonces,
Para ellos, la verdad, no había una teoría científica en el rigor de la palabra, sólo normas, formulada en versos, y como era muy frecuente, sin demostraciones.
Nos presenta Bhaskara, de esa forma, un conjunto de normas que contienen "un método fácil de cálculo, claro, conciso, suave, correcto y agradable de estudio".
el esclavo negro Tom Fuller, de Virginia, quien a fines del Siglo XVII, murió con 80 años de edad, sin saber leer ni escribir;
Dase, que aplicó sus facultades de calculador, las únicas que talvez poseía, a la continuación de los trabajos de tablas de dos divisores primos de Burckbardt, para los números comprendidos entre
"Tenemos siempre presente en el pensamiento, aquellas palabras de Lord Balfour, un ensayista incomparable: El éxito futuro de la industria depende de investigaciones abstractas o científicas del presente, y serán los hombres de ciencias que trabajan para fines puramente científicos, sin ningún instinto de aplicación de sus doctrinas, que la humanidad tendrá que pagar, en tiempos futuros.
Ya Condorcet observaba: El marinero que debido al cálculo exacto de la longitud, salva del naufragio, debe la vida a una teoría concebida hace ya más de veinte siglos antes por hombres inteligentes que tenían a la vista meras geometrías70".
"Gran privilegio del matemático y esta ligazón íntima y misteriosa entre su sueño, que fuera de él, no le interesa a nadie, y las aplicaciones prácticas de ciencia que aproximan la multitud y que aparentemente no están relacionados.
Que ese acuerdo entre las especulaciones matemáticas y la vida práctica se explica por medio de argumentos metafísicos o de teorías biológicas, no importa;
"Esa certeza de profunda utilidad de su obra le permite al matemático entregarse sin reserva, sin remordimiento, a los placeres de la imaginación creadora, no teniendo a la vista mas que su propio ideal de belleza y de verdad.
Se asocia al tributo de admiración y de gloria con que la humanidad homenajea a los sabios cuyos descubrimientos son más accesibles y traen alivio inmediato a los sufrimientos;
pero sabe que la obra de un Luis Pasteur, de un Pierre Curie presupone los trabajos de los matemáticos de siglos pasados y tiene la esperanza que un Poincaré suscite en el Siglo XXI nuevos Luis Pasteur y Pierre Curie71".
"Cuando los geómetras antiguos estudiaron las secciones cónicas, ¿quién se podría haber imaginado que estas curvas desempeñarían, dos mil años después, el papel central en la astronomía?
Ghyka traza interesantes consideraciones: ""Algo            curioso   de   ver   es   que   esta   correspondencia  de   las   especulaciones matemáticas (como punto de partida, las más paradójicas;
como normas, las más arbitraria) con un conocido o inexplorado sector de nuestro universo experimental se produce siempre acompañada, a menudo, de una gran utilidad práctica.
Durante mucho tiempo fue considerado como meras elucubraciones patológicas, resultó ser la única forma de análisis que puede representar exactamente los fenómenos eléctricos de corrientes alternas, y esto, como teoría y como la aplicación técnica.
En una nota al capítulo II, enuncié, a propósito de las geometrías de 4 y 5 dimensiones, la curiosa aplicación de las "hiperpirámides de Pascal" al cálculo de las probabilidades.
La creación de los números fraccionarios resulta de la consideración de objetos que se pueden subdividir, o de ciertas magnitudes continuas, como la distancia y la duración.
Los egipcios practicaban con habilidad el cálculo de las fracciones, como nos muestra el famoso manual elaborado por el sacerdote Ahmés en una época en los
Se encuentra en ese papiro, anterior a Tales por lo menos diez siglos, una tabla para la descomposición de ciertas fracciones en suma de fracciones cuyos numeradores son iguales a la unidad.
aquél por ejemplo, que en lenguaje moderno enunciaríamos en los siguientes términos: "Dividir 100 panes entre 5 personas, en partes con diferencias crecientes iguales, y de modo que la suma de las dos partes menores sea igual al séptimo de la suma de las otras tres."
Si el libro de Ahmés reproduce, como todo lo hace creer, la educación de los matemáticos egipcios, la aritmética no pasaba de una colección de recetas extremadamente ingeniosas.
Solo mil años después, es que aparece en la Aritmética de Stevin (1585), una exposición completa del cálculo de los numeri rupti, extensión de las operaciones fundamentales ya practicadas sobre los enteros.
La contribución contemporánea a la teoría de las fracciones está sobre todo en la elaboración de su lógica formal, disipando las últimas dudas que la interpretación  de los números fraccionarios constituyen finalmente las dos subclases en que se reparten los números racionales.
En las cuestiones matemáticas no se comprende ni la incerteza ni la duda y tampoco se pueden establecer diferencias entre las verdades a medias y las verdades de alto grado.

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