Eremu Kontserbakorrak, Kepler eta Grabitazioa

Eremu Kontserbakorrak eta Energia Potentziala

Eremu kontserbakorren definiziotik eremua beraren izaeratik ondorioztatzen da: A eta B bi edozein puntu hartuta, eremuaren indarrak egiten duen lana ez dela ibilbidearen menpekoa, hasierako eta bukaerako puntuen araberakoa baizik.

W_{ab_konts} = -(ΔEp) = -(Ep_b - Ep_a) = Ep_a - Ep_b

A-tik B-ra ibilbide desberdinetik joanda ere, eremuaren indarrak egindako lana Ep_a - Ep_b da, hasierako eta bukaerako puntuetan energia potentzialak duen balioaren araberakoa. (Adibidez, kamioi bat maldan gora edo behera bezala, egindako lana altuera-desberdintasunaren araberakoa da, ez bidearen formaren araberakoa).

Ibilbide itxi batean, indar kontserbakorrak egindako lana nulua da beti:

W_ab = -(ΔEp) = Ep_a - Ep_b
W_ba = -(ΔEp) = Ep_b - Ep_a
W_aba = W_ab + W_ba = (Ep_a - Ep_b) + (Ep_b - Ep_a) = 0

Indar kontserbakorren definizioak energia potentziala kalkulatzeko bide ematen du. Grabitatea aztertzen badugu:

Ep_g = -G·M·m/r

Kasu honetan, Ep-ren jatorria (Ep_g=0 balio duen puntua) infinitoan dago. Energia potentzial maximoa da (zero) eta beste edozein puntutan negatiboa.

Potentzial grabitatorioa masa unitateko energia potentzial bezala definitzen da:

V_g = Ep_g/m = -G·M/r

Keplerren Legeak

Keplerren legeen bitartez eguzkiaren inguruko planeten higidura deskribatzen da. Hiru lege dira:

1. Lehenengo Legea (Orbiten Legea)

   Eguzkiaren inguruko beren mugimenduetan planetek ibilbide eliptikoak deskribatzen dituzte, eguzkia elipse horietako fokuetako batean egonik.

2. Bigarren Legea (Azaleren Legea)

   Planeta baten posizio-bektoreak azalera berdinak erratzen ditu denbora unitateko.

   Planeta azkarrago mugitzen da Eguzkitik gertuago dagoenean (posizio-bektorea laburragoa denean), eta motelago urrutiago dagoenean.

3. Hirugarren Legea (Periodoen Legea)

   Planeten periodoen (T) karratua eta beren orbiten ardatz erdi-nagusiaren (a) kuboa proportzionalak dira:

   T² = k · a³

   Zenbat eta urrutiago egon planeta Eguzkitik, bere periodoa luzeagoa da, baina ez proportzionalki, erlazio horren bidez baizik.

Keplerren ereduan, planeten orbitak solido geometriko erregularrek bermatzen zituztela uste zen. Ez zitzaion buruan sartzen nola egon zitezkeen planetak "zintzilik", eta Newtonek grabitazio unibertsalaren legea proposatu zuen arte ez zen ulertu mugimenduen zergatia.

Newtonen legeetatik abiatuta, Keplerren 3. legearen espresioa lor daiteke, eta honek grabitazio unibertsalaren legea indartu zuen:

T² = (4π²/G·M) · R³ = k · R³

Eremu Grabitatorioaren Indar-Lerroak eta Gainazal Ekipotentzialak

Eremu grabitatorioa indar-eremua da, M masa batek bere inguruko espazioan sortzen duen eremua, eremu-intentsitate honekin:

g = (G·M/r²) · Ur

Indar-lerroak indar-eremuak grafikoki irudikatzeko erabiltzen dira. Puntu guztietako eremu-intentsitate bektoreen ukitzaile dira.

Masa esferiko baten kasuan, lerroak erradialak dira, eremua sortzen duen M masarantz zuzenduak.

M1 eta M2 masen kasuan, elkarrengandik urruti egonik, eremu-lerroak ia erradialak dira, baina bien arteko puntuetan biek sortutako eremu-intentsitate bektoreak batzen dira.

Masa bat bestea baino handiagoa bada, irudia deformatu egingo da, masa horrek eremu-intentsitate handiagoa sortzen baitu erdialdeko puntuetan. Bi masekiko distantziakideak diren puntuetan, masa handienak gehiago erakartzen du.

Gainazal ekipotentzialak potentzial grabitatorioaren (V_g) balio jakin bat duten puntuez osatuta daude. Potentzial grabitatorioa masa unitateko energia potentzial bezala definitzen da (V_g = Ep_g/m = -G·M/r).

Gainazal ekipotentzialak M masarekiko distantzia berdinera kokatuak dauden puntuek osatuko dituzte, beraz, M-n zentratutako esferen forma dute.