Centro de masa y momento de inercia

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MOMENTOS DE INERCIA El momento de inercia es un indicador que nos determina valores de Resistencia de materiales en esfuerzos y deformaciones en vigas y ejes. Por Tanto, es una herramienta indispensable para el cálculo de resistencia de Materiales. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la Posición del eje de giro. La aplicación fundamental de los momentos de inercia en resistencia de Materiales es el cálculo de módulos resistentes o módulos de la sección. Ya Que se calcula dicho modulo como el cociente de dividir el momento de Inercia de la sección referido al eje que pasa por su centro de masas por la Distancia de dicho eje a la fibra más alejada de la referida sección. MOMENTOS DE INERCIA DE UNA SUPERFICIE PLANA CON UN EJE Cuando tenemos una superficie plana y un eje, el momento de inercia de Dicha superficie respecto al eje se llama «Momento de segundo orden de un Área». MOMENTOS DE INERCIA AXIALES Cuando el eje respecto al que se toma el momento de inercia está en el Mismo plano que la superficie. MOMENTO DE INERCIA POLAR Cuando el eje respecto al que se calcula el momento de inercia es Perpendicular al plano que contiene a la superficie S, se expresa como Io, Siendo O el punto de intersección del eje con el plano. Momento de inercia axial Momento de inercia polar ENSAYOS - TEMA 1 TXORIERRI DEPARTAMENTO DE Mecánica 2 Relación ENTRE MOMENTOS DE INERCIA AXIAL Y POLAR Siempre que x e y sean perpendiculares. Podemos, pues, enunciar la Conclusión siguiente: «El momento de inercia polar de una superficie respecto a un eje z es igual A la suma de los momentos de inercia axiales de dicha superficie respecto a Dos ejes perpendiculares que se corten en el punto de intersección del eje Z.». Io = Ix + Iy UNIDAD DEL MOMENTO DE SEGUNDO ORDEN DE UNA SUPERFICIE PLANA La unidad del momento de segundo orden, o momento de inercia de una Superficie plana, será la de una longitud elevada a la cuarta potencia. TEOREMA DE STEINER O TEOREMA DE EJES PARALELOS El teorema de Steiner nos proporciona el instrumento más eficaz para el Cálculo de momento de inercia respecto a ejes cualesquiera; el teorema Dice: «El momento de inercia de una figura plana, con respecto a un eje cualquiera A, es igual al momento de inercia de dicha figura con respecto a un eje que Pase por el centro de gravedad y sea paralelo al eje inicial a, más el área de La figura multiplicada por el cuadrado de la distancia que hay entre los dos Ejes.». Analíticamente se expresa así: Ia = ICG + S . D2 RADIO DE GIRO Se define el radio de giro de una superficie respecto a un eje como una Magnitud con dimensión de longitud y que, elevada al cuadrado y multiplicada Por el área de dicha superficie, nos da el momento de inercia de ésta Respecto al eje considerado. S I R X = ENSAYOS - TEMA 1 TXORIERRI DEPARTAMENTO DE Mecánica 3 MOMENTO RESISTENTE El momento resistente o módulo de la sección, es el cociente de dividir el Momento de inercia de la sección, referido al eje que pasa por su centro de Gravedad por la distancia de dicho eje a la fibra más alejada de la referida Sección. MAX CG Y I W = MOMENTO DE INERCIA DE FIGURAS Geométricas ELEMENTALES. Se da a continuación una tabla con las principales figuras geométricas y sus Momentos de inercia con respecto a ejes de posición destacada. En Cualquier caso es posible obtener, partiendo de un momento de inercia de Los dados en la tabla (para cada figura), los demás momentos de inercia. Este es un ejercicio interesante que da gran soltura en el uso del teorema De Steiner, y de los conceptos desarrollados hasta ahora, por lo que Aconsejamos su manejo. CÓMO CALCULAR EL MOMENTO DE INERCIA DE UNA FIGURA PLANA COMPUESTA Ejemplo. 1º paso: Se determina el centro de masa que ya sabemos calcularlo. Para ello Dividimos en áreas simples. ENSAYOS - TEMA 1 TXORIERRI DEPARTAMENTO DE Mecánica 4 A1 = base por altura = 30 x 1,9 = 57,00 cm2 A2 = base por altura = 1,1 x 35,2 = 38,72 cm2 A3 = base por altura = 30 x 1,9 = 57,00 cm2 A total = A1 + A2 + A3 = 57 + 38,72 + 57 = 152,72 cm2 2º paso: Se Calcula la ubicación del centro de masa de la figura compuesta. X1 = 15 cm X2 = 15 cm X3 = 15 cm Y1 = 38,05 cm Y2 = 19,5 cm Y3 = 0,95 cm Sustituyendo estos valores en las Fórmulas: El centro de masa de la Figura compuesta estará ubicado en Las coordenadas XCG =15 YCG = 19.5. 3º paso: Se calculan las distancias que hay desde cada centro de masa de las Figuras sencillas hasta el centro de masa de la figura compuesta. En este caso notamos que todos los centros de masa de las figuras sencillas Están contenidos en el eje “YCG” del centro de masa de la figura compuesta, Luego: X1G, X2G y X3G = 0 cm. Con relación a las distancias con el eje “XCG”: tenemos las siguientes Distancias Y1G = 18,55 cm Y2G = 0 cm y Y3G = 18,55 cm 4º paso: Se calcula el momento de inercia de cada una de las figuras Sencillas respecto a los ejes “XCG” e “YCG”. Aplicando el teorema del eje paralelo, es decir el Teorema de Steiner en el Eje XCG. I1x = I1cgx + A1 (Y1G) 2 = (b . H3 )/12 + A1 (Y1G) 2 ENSAYOS - TEMA 1 TXORIERRI DEPARTAMENTO DE Mecánica 5 I2x = I2cgx + A2 (Y2G) 2 = (b . H3 )/12 + A2 (Y2G) 2

I3x = I3cgx + A3 (Y3G) 2 = (b . H3 )/12 + A3 (Y3G) 2

I1x = (30 . 1,93 )/12 + 57(18,55)2 = 19631 cm4 I2x = (1,1 . 35,23 )/12 + (38,72) (0)2 = 3.998 cm4 I3x = (30 . 1,93 )/12 + 57(18,55)2 = 19631 cm4 IX = I1x + I2x + I3x = 19631 cm4 + 3998 cm4 + 19631 cm4 = 43260 cm4 IX = 43260 cm4 Directamente en el eje YCG, ya que todos los CG coinciden con el eje. I1y = I1cgx = (b . H3 )/12 = (1,9 . 303 )/12 = 4275 cm4 I2y = I2cgx = (b . H3 )/12 = (35,2 . 1,13 )/ = 3,9 cm4 I3y = I3cgx = (b . H3 )/12 = (1,9 . 303 )/12 = 4275 cm4 IY = I1y + I2y + I3y = 4275 cm4 + 3,998 cm4 + 4275 cm4 = 8554 cm4 IY = 8554 cm

REISTENCIA DE MATERIALES La fuerza es una magnitud física de carácter vectorial y puede definirse como toda Acción o influencia capaz de deformar los cuerpos (efecto estático), modificar su Velocidad o vencer su inercia y ponerlos en movimiento si estaban inmóviles (efecto Dinámico). Descomposición de la fuerza de gravedad de un coche en una pendiente, o del vector Fuerza de una pareja tirando de una piedra. La unidad de medida de la fuerza en el Sistema Internacional de Unidades es el Newton Una equivalencia muy utilizada es el kgf (kilogramo-fuerza) y kp (kilopondio), aproximadamente 1Kp=9.806N ≈10N La mecánica considera a los sólidos como cuerpos rígidos e indeformables cuando en Realidad esto no es así, las fuerzas exteriores aplicadas producen en ellos deformaciones De diversa naturaleza, cuyo estudio tiene gran interés y que constituye el objeto de la Resistencia de materiales. La resistencia es la capacidad más o menos grande de un cuerpo para resistir una carga Sin romperse, pero es perfectamente posible que dicha carga produzca en él una Deformación que supere los limites admisibles, desde el punto de vista constructivo, sin Llegar por ello a romperse. La capacidad de los cuerpos para resistir las fuerzas exteriores manteniendo Aparentemente su forma primitiva se llama rigidez. A mayor rigidez mayor debe ser la Fuerza para producir la misma deformación. A las fuerzas externas que actúan sobre los elementos las llamamos CARGAS. Las Cargas pueden ser concentradas que actúan en una superficie de contacto que con Relación a la superficie total del cuerpo es despreciable ó pueden ser distribuidas que Actúan sobre una superficie digna de tenerse en cuenta, estas pueden ser uniformemente Distribuidas o no uniformes. Las fuerzas internas son las reacciones Causadas por las fuerzas externas que se Producen en el interior de los cuerpos Debido a su cohesión. Y las llamamos ESFUERZOS o TENSIONES. Descomponiendo la fuerza F en Normal y Tangencial, podemos decir que existen los Esfuerzos de tracción (σ =N/A) y esfuerzos Cortantes (τ = T/A) Las tensiones se expresan en MPa= 1 N/mm2; también pueden encontrarse con las Unidades de Kg/mm2, Kg/cm2 ó N/m2. Según la forma de actuación de las fuerzas exteriores, se clasifican los siguientes tipos De esfuerzos o tensiones. ESFUERZO DE Tracción. Es un esfuerzo normal o perpendicular a la sección transversal del cuerpo que tiende a Alargar sus fibras. Aparece en cadenas, cables, tornillos …. . ESFUERZO DE Compresión. Teóricamente se podría definir como una tracción negativa. Es un esfuerzo normal o Perpendicular a la sección transversal del cuerpo que tiende a acortar sus fibras. Aparece En arandelas, columnas, cimentaciones, etc. Generalmente la resistencia a la compresión suele ser superior que a tracción, y la rotura Se produce cuando aparecen grietas en el aplastamiento. Fig. Libro pág. 231 ESFUERZO DE CORTADURA. La fuerza está contenida en un plano o sección sobre la que se actúa, las cargas se Realizan en la misma dirección pero en sentido contrario y tiende a cortar la pieza Mediante deslizamiento de las secciones afectadas. En estado puro es difícil encontrar Este esfuerzo, pero en la práctica se considera que lo sufren las uniones roblonadas, Soldadas, atornilladas, en chavetas y pasadores, y piezas que sufren el corte mediante Cizalla o punzonado etc. El esfuerzo de cortadura de una sección se calcula como τ=F/A. El esfuerzo que Soportan los materiales sometidos a cortadura es inferior al de tracción. En los aceros en General el valor máximo de la tensión cortante es (τMAX = σMAX /2). Este esfuerzo cortante crea una deformación ϒ en la pieza, este se calcula mediante la Fórmula ϒ= F/(A x G) donde G es el módulo de elasticidad transversal que se obtiene Del ensayo de cortadura G=σ/ϒ. Similar al módulo de Young representa la pendiente De la curva del ensayo de cortadura. ESFUERZO DE Torsión. Se presenta cuando las fuerzas o causas externas tienden a retorcer las piezas sobre su Eje. Es un esfuerzo muy común y aparece en los arboles de transmisión de todo tipo de Máquinas. Momento de una fuerza o par torsor (respecto a un punto dado) se denomina a Una magnitud obtenida como producto vectorial del vector de posición del punto de Aplicación de la fuerza (con respecto al punto al cual se toma el momento) por el vector Fuerza. El valor del momento se calcula mediante M= F x distancia. Unidades Nx m El momento de una fuerza con respecto a un punto hace que un cuerpo gire alrededor de Un eje que pase por dicho punto. El momento tiende a provocar una aceleración angular (cambio en la velocidad de giro) en el cuerpo sobre el cual se aplica si este puede girar Libremente. En el caso de que se aplique a un elemento que se encuentra fijo el Momento produce una deformación como en los elementos que trabajan sometidos a Torsión (como los ejes de maquinaria) o a flexión (como las vigas). Si a una viga circular empotrada en uno de sus extremos se le aplica un momento torsor Mt como en la figura, se observa que las generatrices del cilindro se retuercen los Ángulos υrespecto a la sección transversal y ϒrespecto de la generatriz inicial. Las deformaciones que se producen son las siguientes: La posición relativa entre dos secciones varía un incremento del ángulo υ, y se Produce un desplazamiento entre las generatrices, por tanto aparecen esfuerzos cortantes (tangenciales) entre las secciones de la viga y también entre las generatices, ver detalle De la sección . Las fibras más distantes al eje son las que más se deforman por tanto las que el valor del Esfuerzo cortante es mayor, la fibra central que no se deforma se llama fibra neutra y en Ella la tensión es nula. Para el cálculo del valor del esfuerzo cortante y la deformación Υse utilizan las siguientes fórmulas:

El momento polar de inercia es un valor empleado para predecir la capacidad de Un objeto para resistir a torsión. Para realizar su cálculo vamos a ver los conceptos De centro de gravedad, momentos de inercia principales y polares El centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual el momento que Ejerce la fuerza de la gravedad sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el Cuerpo produce un momento resultante nulo. Es decir la suma de todos los momentos Respecto del CDG es nula. El centro de fuerzas de un sistema es el punto respecto al cual la suma de todos los Momentos respecto es nula. El momento de inercia I refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un Sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia solo Depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de Las fuerzas que intervienen en el movimiento. Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, el momento de inercia del mismo se Define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de La distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como: ¿Cuál de estos giros resulta más difícil? El momento de Inercia de un cuerpo indica su resistencia a adquirir una Aceleración angular. Un ejemplo del momento de inercia es la cantidad de Movimiento que presenta un sólido que está girando, este Se cálcula como L= IxW. Si el valor de L permanece Constante, es decir con el impulso que recibe una Bailarina la velocidad de giro aumenta al recoger los Brazos y disminuye al extenderlos. Cuando la distancia Con respecto al eje de giro aumenta, aumenta el valor de I Y debe disminuir la W Otro ejemplo es que el momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser Acelerado en rotación. Así, por ejemplo, la segunda ley de Newton: F = m a, tiene como Equivalente para la rotación: Otro ejemplo son los volantes de inercia colocados en motores, prensas, que debido a su Inercia o energía hace que el motor siga girando aunque se encuentre alguna resistencia Repentina. La energía cinética de un cuerpo en movimiento con velocidad v es =1/2 m v 2, mientras que la energía cinética de un cuerpo en rotación con velocidad angular ω Es=1/2 Iω2 , donde I es el momento de inercia con respecto al eje de rotación. En ingeniería estructural, donde no hay rotaciones ni aceleraciones angulares, el Momento de inercia se transforma en el segundo momento de inercia o momento de Inercia de área. Esta es una propiedad geométrica de la sección transversal de elementos Estructurales que necesitamos conocer para determinar valores de resistencia en Esfuerzos y deformaciones en vigas (flexión) y ejes (torsión). El segundo momento de área es una magnitud cuyas dimensiones son longitud a la Cuarta potencia. Dada una sección plana transversal de un elemento estructural, el Segundo momento de inercia se define (para cada eje de coordenadas contenido en el Plano de la sección) mediante la siguiente fórmula: El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje De giro. La aplicación fundamental de los momentos de inercia en resistencia de Materiales es el cálculo de módulos resistentes o módulos de la sección, ya que se Calcula dicho modulo como el cociente de dividir el momento de inercia de la sección Referido al eje que pasa por su centro de masas por la distancia de dicho eje a la fibra Más alejada de la referida sección. Se da a continuación una tabla con las principales figuras geométricas y sus momentos De inercia con respecto a ejes de posición destacada. Momento o modulo resistente El momento o módulo resistente es una magnitud geométrica que caracteriza la Resistencia de un prisma mecánico sometido a flexión. De hecho, el momento resistente Es calculable a partir de la forma y dimensiones de la sección transversal, y representa la Relación entre las tensiones máximas sobre ella y el esfuerzo de flexión aplicado.

El momento resistente flexional frecuentemente se designa mediante W b, mientras que El momento resistente torsional típicamente es designado como W T. ESFUERZO DE Flexión Un cuerpo está sometido a flexión cuando las fuerzas que actúan sobre el tienden a Curvarlo en sentido longitudinal. Un caso típico son las vigas, las que están diseñadas Para trabajar, principalmente, por flexión. Ejemplo de flexión mecánica: arriba, un elemento Tal como una barra se encuentra en estado de reposo; En la figura de abajo dicho elemento es sometido a Una fuerza. El elemento, en consecuencia, se dobla En el mismo sentido de la fuerza. Las piezas que soportan este esfuerzo suelen ser Alargadas y poseen cualquier sección, y a medida que se aplica la carga sufre una Deformación que genera una curvatura. En la zona inferior tiende a estirarse y en la Superior a contraerse, las inferiores estarán sometidas a esfuerzos de tracción y las Superiores a compresión. Existe una fibra de la viga que no se alarga ni se contrae, esta Se llama fibra neutra, y en este punto las fuerzas son nulas. En este caso la fibra neutra Pasa por el centro de gravedad de la sección de la viga. Si analizamos una sección de la viga, la tensión que soporta se representa en la imagen D, las tensiones máximas se encuentran en las fibras más alejadas de la fibra neutra. Los Valores de la tensión se calculan con las siguientes fórmulas:

Flexión COMPUESTA PLANA. Se dice que una pieza está sometida a flexión compuesta plana cuando está sometida, Simultáneamente, a flexión y a tracción o a compresión y si todas las fuerzas exteriores Aplicadas a la pieza están situadas en uno de los planos principales de flexión y las Secciones planas se mantienen planas y normales a la fibra media. Para hallar el estado de tensiones y deformaciones procederemos a la superposición de Los efectos del esfuerzo normal N que produce unas tensiones σ = N/Área (lleva signo Menos si N es compresión) y el momento flector Mf produce unas tensiones:

La tensión total será la suma de los dos valores


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