Calculo 1

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Teorema de Weierstrass Sea f:[a,b→ R continua.Entonces,f alcanz sumax y su min en [a,b es decir, existen 2 ptos c,d €[a,btales k /c=min{f(x): x € [a,b}, o bien f(c)≤ f(x),paratodo x €[a,b /d = max {f (x) : x € [a,b]}, o bien f(c)≥ f(x), paratodo x € [a,b/ Teorema de Bolzano Sea f : [a; b] → R continua tal que f(a)f(b) < 0.="" entonces,="" existe,="" al="" menos,="" un="" c €="" (a;="" b)="" tal="" que="" f="" (c)="0" (c="" es="" un="" cero="" de="">Teorema del punto fijo Sea f : [a, b] →  [a; b] una función continua. Entonces f tiene, al menos, un punto c € [a; b] tal que que f(c) = c .Estos puntos se llaman puntos fijos de f.Demostración: Notar que si f : [a; b] → [a; b] entonces f(a); f(b) € [a; b], luego/ a ≤ f(a); f(b)  b./ Así, si definamos la función auxiliar g (x) = f (x) - x, que es continua en [a; b], esta función verifica que g(a) = f(a) - a ≥ 0 y g(b) = f(b) - b ≤ 0./ Si g(a) = 0 entonces f(a) = a (a es un puntofijo)./ Si g(b) = 0 entonces f(b) = b (b es un puntofijo)./ En otro caso, g(a)g(b) < 0="" y,="" por="" el="" teorema="" de="" bolzano,="" existe="" un="" c €="" [a;="" b]="" tal="" que="" g="" (c)="0" y,="" por="" lo="" tanto,="" f(c)="">Teorema Regla de la cadena Sea f : X   R → R diferenciable en a punto interior de X y sea g : f(X) → R diferenciable en f(a) punto interior de f(X): 

 
Entonces, la función compuesta g f es diferenciable en a y su derivada es/ (g o f)´(a)=g´(f(a))f´(a) (regla de la cadena)/ Demostración: La función g o f será diferenciable en a si existe el límite de su cociente de Newton: (g o f)´ (a) = limx→a g(f(x))-g(f(a))/x-a= limx→a g(f(x))-g(f(a)) (f(x)-f(a))/(f(x)-f(a)) (x-a) = limx→a g(f(x))-g(f(a))/f(x)-f(a)=limx→a f(x))-f(a)/x-a= g´(f(a))f´(a)//Ejemplo (Regla de la Cadena) Si f(x) = sen(x2), su derivada es f´(x) = cos(x2)2x.Teorema Rolle y lagrange Sea f : [a; b] → R una función continua en [a; b], diferenciable en (a; b) y tal que f(a) = f(b). Entonces existe, al menos, un punto c € (a; b) tal que f´(c) = 0. Estos valores c se llaman puntos críticos de f.Demostración: Si f es continua en [a; b]; el Teorema de Weierstrass garantiza que f alcanza su máximo, c; y su mínimo, d; en [a; b]. Si el máximo o el mínimo son puntos del interior (a; b); entonces el Teorema 59, Sección 12.1, asegura que f´(c) = 0 o que f´ (d) = 0. En otro caso, los puntos c; d se corresponden con los puntos a; b; y como f(a) = f(b); la función f es constante en [a; b]: En este caso, f´(c) = 0 en todos los puntos de (a; b).Teorema del Valor Medio de Lagrange Sea f : [a; b] → R una función continua en [a; b] y diferenciable en (a; b). Entonces existe, al menos, un punto c € (a; b) tal que f´(c) = f(b) - f(a)/ b - a.Demostración: Consideremos la función auxiliar g(x) = f(x)- (f(b) - f(a)/b-a)* x, que es continua en [a; b] (pues f lo es), es diferenciable en (a; b) (pues f lo es) y, además, se cumple que g(a) = g(b) pues:
g(a) = f(a) -(( f(b) - f(a))/b-a)a= (( bf(a) - af(a)-( af(b) - af(a))/b-a =  (bf(a) - af(b))/b-a             

g(b) = f(b) -(( f(b) - f(a))/b-a)b= (( bf(a) - af(a)-( af(b) - af(a))/b-a =  (bf(a) - af(b))/b-a

Por el Teorema de Rolle, existe, al menos, un punto c € (a; b) tal que g´(c) = 0 y, por lo tanto, f´(c) = f(b) - f (a)/b-a

Definición (Sucesión convergente) Diremos que una sucesión {xn} de números reales es convergente a x € R si, para todo ε > 0, existe una posición N € N tal que, a partir de ella, todos los demás xn cumplen |Xn - X| < ε.//calcular="" potencias="" efectuando="" las="" operaciones="" en="" forma="" polar="" y="" expresando="" el="" resultado="" en="" forma="" binomica(modulo="" y="" argumento)/si="" el="" polinomio="" es="" de="" coeficientes="" reales="" y="" te="" da="" un="" cero="" su="" conjugado="" tambien="" sera="" cero="" del="" polinomio/descomponer="" en="" fracciones="" simples="">2+2/formula para quitar raizes cubicas A3-B3=(A-B)(A2+AB+B2)/Stolz an-an-1/(bn-bn-1)/ L´Hopital solo para limx→0/lim por izkirda y derexa/estudiar la continuidad es hacer lim por la izquierda y por la derecha, si no coincides no es continua en ese pto/ euler exp*(lim f(x)-1)* lo elevado./calcular raizes cubicas,cuadradas... *modulo*argumento*modulo eangulo i *la raiz cubica cuadrada del modulo*argumentos αk= α/nº raiz +2kπ/nºraiz→{α0-------para k 0; por lo tanto las n raices cuadrads cubicas.. de z= lo que sea la funcion son w0=raiz n del modulo*elo que te de α0 *i y asi asta wn

derivada del sen el cos y del cos en -sen

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