Aleatorias

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aleatorias discretas: desconocidas: tabla probabilidad p( x), me pueden pedir: funcion acumulada: F(x)= P ( x mas pequeño o igual a x). hago x mas pequeño que 0, despues x entre 0 y 1, etc... y al lado p (x): se van acumulando empezando por 0 y acaba con 1. del numero hacia abajo. ( recordamos que igual se pone a la derecha del punto). esperanza: E de x igual a sumatorio de xi por P (xi). varianza: sumatorio de entre parentesis xi menos esperanza de x todo al cuadrado por p de xi. sumatorio de xi al cuadrado por P (xi) - la esperanza al cuadrado fuera. todos p(x) igual a 1. teoria: F de x entre 0 y 1. F de x creciente.p de x igual a x0 es diferente de 0. para calcular probabilidad de a, x, b se hace f de b menos f de a. esperanza de un numero es igual al num. esperanza de un numero por x es igual a num por esperanza de x. varianza de un numigual a 0. varianza numero por x igual a numero al cuadrado por varianza de x. esperanza de funcion g de x igual a sumatorio de g de xi por p de xiconocidas: bernoulli: E(x)=p. Var (x)= p(1-p). E(x2)=p. Binomial= dominio de 0 a n. p(x=k)=(nk)pk (1-p)^n-k. E(x)= np. Var(x) =np (1-p). E(x2)= np(1-p) +n2p2. Geometrica: dominio de 1 a infinito. P(x)= p(1-p)^x-1. E(x)= 1/p. Var(x) =(1-p) /p2. E(x2)= (2-p) /p2. Tau= 1/p. Poisson: dominio de 0 a infinito. P(x)= f(x)= (e^-λ λ^x)/ x!. E(x) =λ. Var(x)=λ. E(x2)= λ +λ2. Var(x)=σx2(desviacion tipica al cuadrado). funcion generadora de momentosbinomial: (1 menos p) por p por e elevado a t y todo elevado a n. bernoulli: 1 mas p por (e elevado a t, -1). poisson: e elevado a landa por ( e elevado a t, -1). normal: e levado a (landa por t mas 0,5 sigma al cuadrado t al cuadrado. geometrica: p partido por (1 - e elevado a t por (1 -p)). uniforme: 1 entre n por sumatorio de 1 a n de e elevado a kt. momentos de segundo y tercer orden: derivamos 2 o 3 veces y sustituimos t por 0.

continuas: generales: funcion de densidad: f de x mayor a 0. integral en el dominio de f de x igual a 1 (para calcular constantes) ( ctes solo hay una). p de a, x, b no importa si hay iguales en cualquiera siempre es integral entre a y b de f de x. esperanza de x igual a intedral del dominio de x por f de x. varianza de x igual a integral del dominio de x - esperanza de x todo al cuadrado por f de x. integral de dominio de x al cuadrado por f de x dx menos esperanza de x elevado al cuadrado fuera. funcion de distribucion acumulada: F de x igual a integral de menos infinito a x de f de x. propiedades de F de x: p de a, x, b es F de b menos F de a. es continua. F de menos infinito es 0. F de mas infinito es 1. F de x es creciente. Conocidas: Uniforme: f(x) =1/b-a. E(x)= (a+ b)/2. Var(x) =(b-a)2/12. E(x2)= Var +E(x)2. F(x)= (x-a)/ (b-a). E(x)= ∫x f(x). Var(x)= ∫x2 f(x) -(E(x)2. Eg(x)= ∫g(x) f(x). Exponencial: f(x)= λe^-λx. E(x)= 1/λ =α. Var(x) =1/λ2 =α2. E(x2) =2/λ2 =2α2. F(x)= 1-e^-λx. Normal:  f(x) =(1/ (σ √2π)) e^-0.5((x-μ)2/ σ2). Z:N(0,1): (x-μ)/σ.  mezcla de binomial y normal: me pueden dar duracion bombilla con normal. despues me dicen qe cojo n bombillas y me piden probabilidad de que unas cuantas duren menos de unas horas.entonces tengo una binomial que depende de n bombillas y la probabilidad de esas horas que tendria que calcular con la normal. despues calcularia cn la binomial la probabilidad de que esas cuantas bombillas duraran menos de esas horas. si n por p mayor que 5, n por 1 menos p mayor a 5 y n mayor a 30. tengo que pasar a normal donde mu es n por p y sigma al cuadrado n por p por 1 menos p. tambien aplicamos factor correccion: si p de x igual a a hacemos p de a -0,5, x, a mas 0,5. si p de x mayor o igual a a hacemos p de mayor o igual a a menos 0,5. si p de x mayor a a hacemos p de x mayor a a mas 0,5. si p de x menor o igual a a hacemos p de x menor o igual de a mas 0,5. si p de x menor de a hacemos p de x menor de a menos 0,5. en este caso tendriamos el primero caso y despues se resuelve cogiendo el mas grande y restando mas pequeño.

regresion lineal: tipo de muestra: aleatoria simple, aleatoria estratificada que puede ser cnstante o proporcional, aleatoria estratificada. propiedades de estimadores: o es mu y o cn sombrero es media de x. error cuadratico medio de o cn sombrero es RMS de o sombrero igual a esperanza( de o sombrero - o, todo elevado a 2). y tambien igual a varianza de o mas (o menos esperanza de o sombrero) elevado a 2. sesgo de o sombrero igual a esperanza de o sombrero menos o. o sombrero insesgado flecha a esperanza de o sombrero igual a o, tambien se llama o sombrero centrado. o sombrero asistoticamente insesgado flecha a limite de n a infinito de esperanza de o sombrero igual a o. eficiencia de o sombrero flecha o sombrero 1 mas eficiente que o sombrero 2 la varianza de 1 menor que la de 2. o sombrero es consistente flecha limite de esperanza de (o sombrero menos o) al cuadrado. si sesgo de o sombrero es menor de 0 se subestima el parametro. si sesgo de o sombrero mayor a 0 se sobrestima el parametro. caso particular si x es una normal donde mu es o y media xn es o sombrero: media de xn N de mu, sigma elevado a 2 partido por n. flecha a media de xn menos mu y esto partido por raiz de ( sigma al cuadrado partido por n, tambien se llama sigma de media de x) esto en N de o,1. intervalos de confianza: media es mu, si x normal y sigma conocida: media de x menos z de alfa partido por 2 por sigma partido por raiz de n, menor o gual de mu y despues igual cambiando signo (miramos tambla 1 de normales ). si x normal y sigma desconocida: media de x menos t de alfa partido por 2 por s ( desviacion tipica) partido por raiz de n, menor o igual a mu, y despues igual cambiando signo. nota: si nos dicen intervalo confianza del 95% se coge 0,05 como sigma.

contraste hipotesis parametrico: paso 1: hipotesis nula que es Ho, ponemos valor de mu (parametro poblacional ). paso 2: hipotesis alternativa que es H1 mu puede ser mayor, diferente o menor de el valor de mu que hemos puesto en la nula. paso 3: calcular el test de prueba o estadistico con la formula: z igual parametro muestral que es la media de x menos la mu y todo dividido por la sigma entre la raiz de tamaño de muestra, esto es una normal (0, 1) y ponemos flecha y z igual a resultado. confianza ejemplo del 95% y entonces alfa es 0,05. paso 4: region de rechazo y aceptacion:  si mu es mas peqeño que numero rho esta a la izquierda, si mayor al numero a la derecha y si es diferente en los dos lados. si buscamos 0,05 dentro de la tabla encontramos punto de separacion. contraste anova: nota: para aplicar anaova ponemos que las variables ventas o lo que sea normales, varianzas desconocidas iguales ( condiciones homocedásticas). al 5% significacion es alfa 0,05. ejemplo con 3 objetos. paso 1: H0 ponemos que las 3 mu son iguales. paso 2: h1 y almenos 2 distintas. Paso 3: test de prueba o estadistico igual  a F: filas: em mas abajo dem y debajo totalcolumnas tenemos el orden de gl, ss, ms, f. en gl hacia abajo: k ( que es 3 en ejemplo es numero de cosas que comparo) menos 1, n ( sumando todas n) menos k, n menos 1. en ss hacia abajo: sse ( se calcula sumatorio de 1 a k de ni por (media de xi menos la media de las media de x) y esto del parentesis elevado a 2 ). mas abajo sst ( se calcula sumatorio de 1 a k de ( ni menos 1) por si elevado a 2 que es la varianza, no poner al cuadrado ). mas abajo ss que es la suma de sse y sst. en ms para abajo: mse: que es sse entre k menos 1. mst: que es sst entre n menos k. en F: F que es mse entre mst. paso 4: regla de decision: cogemos F de entre parentesis k menos 1 (columna), n menos k (filas) y lo buscamos en la tabla de fisher y encontramos el punto de separacion a la derecha rechazo ho. si no rechazo las tres medias de ventas de los supers son iguales es decir los tres supers venden lo mismo.

tambien se puede mirar con el p value: el riesgo que estamos tomando al aceptar H1 o probabilidad de rechazar Ho cuando es cierta. si el pvalue mas grande de 0,05 (area) no rechazo. con  la tabla de anova tenemos: media de xi menos t alfa partido por 2, n menos k por raiz de mse partido por ni, menor o igual a mu de i, mayor o igual de todo igual cambiando signo delante de t. entre parentesis (media de xi menos media de xj ) menos t alfa partido por 2, n menos k por raiz de mse por entre parentesis (1 partido por ni mas 1 partido por nj), menor o igual de mu de i menos mu de j, mayor o igual de todo igual cambiando signo antes de t. contraste bondad de ajuste (tabla una entrada): me dan probabilidades que tienen qe sumar 1 de cosas que pueden pasar, me dan n (numero total de veces que pruebo algo) y una tabla de una entrada con los experimentos hechos. paso 1: Ho: las probabilidades estan bien. ejemplo  p1 igual a 0,2, p2 igual a 0,3, etc... paso 2: H1: al menos dos diferentes. paso 3: test de prueba con chi cuadrado (x a la 2 ): sumatorio de 1 a numero de probabilidades ( por ejemplo numero de caras) de ( observado de i menos esperado de i) al cuadrado y todo partido por esperado de i. observado es lo que nos da la tabla y el esperado es por ejemplo si p1 es 0,1 calcular el 10% de todos los experimentos que hago. paso 4: regla de decision: cojo como x2 ( numero de probabilidades por ejemplo numero de caras menos 1) y este es el punto que separa a la derecha rechazo ho siempre con 0,05. si no rechazo ho, me quedo con la tabla.

como mirar las tablas: tabla chi cuadrado: la tabla da para arriba. ejemplo: si me dicen x mas pequeño o igual a 4, el tanto por ciento que me de en la columna, se lo tengo que restar a 1 para tener lo que me piden, ya que en la tabla me da hacia arriba. Tabla t student: igual que anterior. tabla f- fisher: me da hacia arriba siempre separa 0,95 izquierda y 0,05 derecha. si estoy calculando p de x mayor o igual a a igual a 0,05, con f (2, 3) esta a sera 9,55. si me piden p de x menor o igual de 9,55 el resultado sera 1 menos 0,05 que es 0,95.

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