Vectores

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Producto escalar: a-> .b->=|a->||b->|cos(a,b)=a1b1+a2b2+a3b3; |a->| =? (a12+a22+a32); | b->| =?( b12+ b22+ b32) ; cos(a,b)= ( a1b1+a2b2+a3b3) / (? (a12+a22+a32)+?( b12+ b22+ b32) )= a-> .b->/ |a->||b->| ; 3 vectores tienen = dirección si su |determ|=0 Proyección de a-> sobre b->: a-> .b->/|b->| Proyección de b-> sobre a->: a-> .b->/| a->| base:|det| 0 Producto vectorial: (Hallar dist de rectas paralelas y areas) a->x b->=| i j k, a1 a2 a3 , b1 b2 b3|=(*1,*2,*3)=(|a2a3,b2b3|,-|a1a3,b1b3|,|a1a2,b1b2|); a->x b->=|a->||b->| sen (a,b) ; |a->x b->| =?( *12+ *22+ *32) Producto mixto l: ( Hallar volumenes y dist de rectas que se cruzan) a->(b->x c->) =|a1 a2 a3 , b1 b2 b3,c1c2c3| Coplanarios: 3 vectores son linealmente dependientes si su |det|=0 (alineados); No coplanarios: 3 vectores son linealmente in dependientes si su |det| 0 ( no alineados); Combinación lineal: se resuelve un sistm de 3 ec con 3 incognitas: Si tiene solución, si es combinación lineal, sino no es combinación lineal. Base ortogonal: 3 vectores perpendiculares entre sí Base ortonormal:3 vectores perpendiculares entre sí y con = longitud Puntos alineados: (x2-x1)/(x3-x2)=(y2-y1)/(y3-y2)=(z2-z1)/(z3-z2) Plano: Ec vectorial:(x,y,z)=(q1,q2,q3)+ (u1,u2,u3)+ (v1,v2,v3) Ec paramétricas:x=q1+ u1+ v1, y =q 2 + u 2 + v 2, z =q 3 + u 3 + v 3 Ec general (sin desarrollar):|x-q1 y-q2 z-q3,u1u2u3.v1v2v3| Ec general o implícita (desarrollada): Ax+By+Cz+D p->(A,B,C)= u->x v-> Ec continua:x-q1 /u1 o v1 =y-q2 /u2 o v2 =z-q3 /u3 o v3 Punto medio de un segmento: M((x1+x2)/2,(y1+y2)/2,(z1+z2)/2) Ec de haz de planos; m +n ´=0 Recta: vector que une 2 ptos AB->=(b1-a1,b2-a2,b3-a3) Ec vectorial: (x,y,z)=(q1,q2,q3)+ (u1,u2,u3) Ec paramétricas: x=q1+ u1, y =q2+ u2, z=q3+ u3 Ec continua: x-q1 /u1 =y-q2 /u2 =z-q3 /u3 Ec general o implícita (desarrollada): Ax+By+C =0 Intersección de y ´: Ax+By+C , A´ x+B´ y+C Ángulos: (pi,pi´)=(p,p´) cos p->.p->´/ | p->|| p->´| pi paralelo a r y r´ p->= u->x u->´ y Q ; ( r , r´)=( u , u´) cos u->.u->´/ | u->|| u->´| r defin en pi y pi´ p->x p->´=u-> y Q ; (pi, r )=(p, u ) cos p->.u->/ | p->|| u->| ; ( r ,pi)=( u , p ) cos u->.p->´/ | u->|| p->´| Distancias: d(A,B)=| AB->| = | B A|->=?( (x2-x1)2+ (y2-y1)2+ (z2-z1)2) AB-> = (B-A) BA->= (A-B); d( Q , pi )=| A a+ B b+Cc+D | /?( A2+ B2+ C2) Q(a,b,c) pi:Aa+Bb+Cc+D=0; d( pi , pi´ )= d(Pdepi, pi´ ) = al anterior pi paralelo a pi´; d( r , pi )= d(Pde r , pi´ ) = al anterior r paralelo a pi; d( r , r´ )= |det(u->,u->´,pp´->)| (productmixto) / | u->x u->´ |(productvectorial) Se cruzan ; d( r , r´ )= d(r´,pi) = d(Pde r´ , pi ) = a d(Q,pi) o bien a d(P,r) paralelas; d(P,r) = 1ºmétodo=|pp1->xpp2->|(productvectorial)/|p1p2->| 2ºmétodo=d(P,Qder) pi que pasa por P y es perpendicular a r su p->=u-> de r Pasa por P ec=Ax+By+Cz+D=0=pi Intersección de pi y r: sustituimos las coordenadas de r en la ec de pi Luego d(P,P´)=?( (x2-x1)2+ (y2-y1)2+ (z2-z1)2)