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    RELACIONES BINARIAS

DEFINICION (de relación binaria) Sea A un conjunto. Una "relación binaria" definida en A es un subconj. R de X x X.  Se usa la notación xRy para indicar que  (x,y) ∈ R.

PROPIEDADES Sea  A un conjunto. Una relación binaria  R definida en A.

(1)   Reflexiva:     ∀a∈A,   aRa

(2)   Simétrica:     ∀a,b∈A   si   aRb ⇒ bRa.

(3)   Transitiva:     ∀a,b,c∈A     si  aRb  y   bRc ⇒ aRc.

(4)   Antisimétrica:   ∀a,b∈A    si  aRb  y  bRa ⇒ a = b.

 DEFINICIONES (de relac de equivalencia y de orden) Sea A un conjunto y R una relación binaria definida en él:

Se dice que R  es "relación de equivalencia" si cumple las propiedades  (1) (2) y (3).    Escribiremos entonces que  a3wECAwQRELQhEJDEmcVCAYnSHNfkAREAOw==b  Se dice que R es "relación de orden parcial" si cumple las propiedades (1) (3) y (4).    Una relación de orden se denota por   ≤  y diremos que (A,≤)es un conjunto ordenado. Si además de estas tres propiedades  se cumple que  ∀a,b∈A   se tiene que o bien aRb  o bien  bRa,  R es relación de "orden total"

     Sea  (A,≤)  un conjunto ordenado. Se dice que el "orden es bueno" o que A está bien ordenado si todo subconjunto A′ de A no vacío tiene un mínimo.  Se cumple que si el orden es bueno, entonces es total, pero no al revés.

DEFINICION ( de clase de equivalencia y conjunto cociente) Sea  A  un conjunto, y  3wECAwQRELQhEJDEmcVCAYnSHNfkAREAOw==   una relación de equivalencia definida en él.    Se llama "clase de equivalencia de a"    3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwUooJUE=3wECAwECAwVn4BUEC2Ce5hQIEopeiCtzSisD8I3S   al conjunto formado por los elementos de A que están relacionados con a.   Al conjunto de todas las clases de equivalencia  se le llama "conjunto cociente"  y se denota   A/3wECAwQRELQhEJDEmcVCAYnSHNfkAREAOw== . 

              Ejemplo de relación de equivalencia

Sea  A=ℤ   el conjunto de los números enteros.     aRb ⇔ a - b =3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC   ( múltiplo de 3).

    Es relación de equivalencia porque cumple las tres propiedades:

 REFLEXIVA:   aRa ⇔ a-a=0=3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC    ∀a∈A

 SIMETRICA:  si aRb ⇒ a-b=3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC   ⇒ - (a-b) = b-a = -3=3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC⇒ bRa     ∀a,b∈ℤ

 TRANSITIVA:  si   aRb ⇒ a-b =3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC

            si   bRc ⇒ b-c =3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC  sumando las dos expresiones a-c =3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC⇒aRc   ∀a,b,c∈ℤ.

    Clases de equivalencia:   3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC= {...,-6,-3,0,3,6,...}  oISZQZiuJsu+lUEMSAQA7= {...,-5,-2,1,4,7,...}  3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC= {...,-4,-1,2,5,8,...}

    Conjunto cociente:    ℤ/∼  = { 3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC, oISZQZiuJsu+lUEMSAQA7,3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC}

          Ejemplo de relación de orden (parcial)  que no es total.

 Sea A=ℕ  el conjunto de los números naturales.    aRb⇔a  es  divisor  de  b  ∀a,b∈ℕ

    Cumple las tres propiedades:

REFLEXIVA:  a  es  divisor  de  a ⇒ aRa    ∀a∈ℕ

ANTISIMETRICA:  si   aRb⇒a  es  divisor  de  b y si  bRa⇒b  es divisor de  a ⇒  a = b   ∀a,b∈ℕ

TRANSITIVA:  si aRb⇒a  es  divisor  de  b  y si  bRc⇒b  es  divisor  de  c ⇒ a  es  divisor  de  c ⇒ aRc    ∀a,b,c∈ℕ

    El orden no es total porque dos números naturales cualesquiera no tienen que ser uno divisor de otro necesariamente.

    Si  A=ℕ.   aRb ⇔ a ≤ b  ∀a,b∈ℕ   si es relación de orden total y de buen orden.  Esta misma relación, pero definida en los números reales , es de orden total pero no bueno.

          ESPACIOS VECTORIALES

DEFINICION   (de subespacio vectorial) Sea E un K-espacio vectorial y  E′⊂E   un subconjunto de E.  Se dice que E′ es  "subespacio vectorial  de E"  si las operaciones de E son también operaciones en E′, y, con ellas, E′ es también un K-espacio vectorial.

PROPOSICION  ( definición  2 de subespacio vectorial)  Sea E un K-espacio vectorial y E′⊂E un subconjunto de E con E′ ≠vwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC. E′ es "subespacio vectorial de E"  si y solo si  ∀ e ,e′ ∈ E′  y  ∀ λ,μ ∈  K  se cumple que  λe+μe′  ∈ E′ .

DEFINICIONES Sea E un K-espacio vectorial   y sean  e₁,...,IABcQUCIqHgNmGZgKbAhDwCdcVaasZixgMhDU0gc∈E.

   Se llama   "combinación lineal "  de los vectores  e₁,...,IABcQUCIqHgNmGZgKbAhDwCdcVaasZixgMhDU0gc,  a todo vector  e de la forma

 e = λ₁e₁+...+3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC  donde  λ₁,...,3wECAwECAwVFIABsxZCJKNo5WGOlsBi9McohdA1A∈ K  son escalares cualesquiera.   Se llama  " subespacio vectorial generado por los vectores  e,...,IABEQSA4YiqSjJUgqlgZxMTGAFWaKK4zgMoB8ggs"  y se denota por  <>₁,...,IABcQUCIqHgNmGZgKbAhDwCdcVaasZixgMhDU0gc>  al conjunto de combinaciones lineales de dichos vectores.    Se dice que los vectores  e,...,IABEQSA4YiqSjJUgqlgZxMTGAFWaKK4zgMoB8ggs son un "sistema generador de E" si  <>₁,...,IABcQUCIqHgNmGZgKbAhDwCdcVaasZixgMhDU0gc> = E , es decir, si cualquier vector de E se escribe como combinación lineal de dichos vectores.

DEFINICIONES  (de vectores linealmentes independientes y dependientes)

  Sea E un K-espacio vectorial   y sean  e₁,...,IABcQUCIqHgNmGZgKbAhDwCdcVaasZixgMhDU0gc∈E.  Se dice que  dichos vectores son "linealmente independientes o forman un sistema libre" si la única combinación lineal de ellos igualada al vector 3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC es la que tiene todos sus coeficientes nulos, es decir ,  si  λ₁e₁ +...+3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC=3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC,     donde λ₁,...,3wECAwVGIABwxaCJaOo5WXOlMCq9cdohdC1GQl5v∈ K   ⇒   IQHHBOIwFpzF5jAqQyECkmwFpgE3ihNUoLNgR4RA= 0   ∀ i=1,...,n.  En caso contrario, se dice que son "linealmente dependientes o que forman un sistema ligado".

     DEFINICION  (de base y dimensión)Sea E un K-espacio vectorial  de tipo finito.  Se dice que los vectores  {e₁,...,IABcQUCIqHgNmGZgKbAhDwCdcVaasZixgMhDU0gc}  forman una "base de E" si son un sistema libre y son sistema generador de E.  Se llama  "dimensión de E",  dimE,  al número de vectores de una base cualquiera de E.  Si  E = {3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC}, se adopta por convenio que dimE = 0.

DEFINICIONES (de suma, intersección y unión de subespacios)

  Sea E un K-espacio vectorial  y sean  E₁  y E₂   dos subespacios vectoriales de E.

  Se llama suma de E y E,   E₁ + E₂ = {e ∈ E  / e = e₁+e₂  donde  e₁ ∈ E₁ y e₂ ∈ E₂}.

  Se llama intersección de E y E,   E₁  ∩ E₂  = {e∈E  / e ∈ E₁ y  e ∈ E₂}.

  Se llama unión de E y E,   E₁ ∪ E₂ = {e ∈ E  / e ∈ E₁  ó   e ∈ E₂ }.

  Definición 1  Se dice que E₁ y E₂  están en  "situación ( o posición ) de suma directa"  y se escribe E₁  ⊕ E₂, si  todo vector de E₁  + E₂ se escribe de forma única como suma de un vector de E₁  y otro de E₂.

 Definición 2 de suma directa  Es equivalente  a decir que E₁ ∩ E₂ = {3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC}.

 Se dice que E₁  y E₂ son subespacios  "suplementarios"  ⇔ E = E₁ ⊕ E₂  , es decir,  si y solo si

E₁ +E₂ = E  y E₁ ∩E₂ = {3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC}.

 EJEMPLO de dos subespacios que están en posición de suma directa, pero no son suplementarios.

         Sean   U={(3,1,0)}    dimU=1    V={(1,0,0)}    dimV=1    U+V={(3,1,0),(1,0,0)}  y     dim(U+V)=2    porque son linealmente independientes;   además, como

dim(U+V) = dimU + dimV - dim( U∩V )  3wECAwECAwECAwECAwQcEMgJDr3LEJlE+GCwXZMydim(U∩V)=0  U y V están en posición de suma directa,  pero  U+V ≠ ℝ³  por lo que no son suplementarios.

(1) Si E,E son subespacios vectoriales de un K-espacio vectorial E, entonces E₁∩E es también subespacio vectorial de E.   E₁∩E₂ = { e3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwVie2qjDk4kcTokRNJDKjiMRWLBAqURQ3gFA4D1pEzJj1  y  e2qjDk4kcTokRNJDKjiMRWLBAqURQ3gFA4D1pEzJj2  }

    Hay que probar si   ∀ e,e’ ∈ E₁∩E₂  y  ∀3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwUl,3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC∈ K  se cumple que  3wECAwECAwECAwVCIABoxYCJaMo1F1OlMCq9cbol+3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECe’ ∈ E₁∩E₂.

    Como    e,e’ ∈ E₁∩E₂ ⇒  e,e’ ∈ E₁  y e,e’ ∈ E₂, entonces  3wECAwECAwECAwVCIABoxYCJaMo1F1OlMCq9cbol+3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECe’ ∈ E₁ y 3wECAwECAwECAwVCIABoxYCJaMo1F1OlMCq9cbol+3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECe’ ∈ E₂    por ser E₁ y E₂ subespacios vectoriales de E.

    Por tanto   3wECAwECAwECAwVCIABoxYCJaMo1F1OlMCq9cbol+3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECe’ ∈ E₁∩E₂.                                

 (2) Si E,E son subespacios vectoriales de un K-espacio vectorial E, entonces E+E es también subespacio vectorial de E.   E+E₂ = { e 2qjDk4kcTokRNJDKjiMRWLBAqURQ3gFA4D1pEzJj /   e = e1 + e2  ,  e1fnAECAwECAwECAwQWEAAVgjjzSsBIDQWwBMYmgia E1  y  e2fnAECAwECAwECAwQWEAAVgjjzSsBIDQWwBMYmgiaE2 }

  Hay que probar si  ∀ e,e’ ∈ E₁+E₂   y   ∀3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwUl,3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC∈K  se cumple que  3wECAwECAwECAwVCIABoxYCJaMo1F1OlMCq9cbol+3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECe’ ∈ E₁+E₂

Como  e,e’ ∈ E₁+E₂ ⇒ e = e1 + e2,    e’ = e’1 + e’2   donde  e1 , e’1 ∈ E1 y e2, e’2 ∈ E₂

  Entonces    3wECAwECAwECAwVCIABoxYCJaMo1F1OlMCq9cbol+3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECe’=3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwUl(e1 + e2) +3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC(e’1 + e’2)=3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwUle1+3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECe’1 +3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwUle2+3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC e’∈ E₁+E₂  porque

  3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwUle1+3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECe’1 ∈ E₁  y  3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwUle2+3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC e2∈E₂  por ser    E₁ y E₂ subespacios vectoriales de E.

 (3) En el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2,  M₂(ℝ),  demostrar si son subespacio vectorial los siguientes subconjuntos:

   (a) Las matrices cuyo determinante es distinto de 0.

       No lo es, porque si lo fuera, la matriz b8U3805WcXXITTVanT6fEieIRAgA7

debería pertenecer a él, y esta matriz no tiene el determinante distinto de cero.

   (b)  Las matrices cuyo determinante es 0.

       Tampoco es subespacio, porque, por ejemplo, si  A = Zi1w5kkLgaZXVvgCRkhhp9UhAAAOw== y  B = q8WKL0D96pY6JQVQjA8BOLEAA7

Se tiene que  |A|=|B|=0   y sin embargo  |A+B|=3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC1 ≠0.

   (c) Las matrices de la forma   3wECAwECAwECAwX8ICCOZGmeqCkFg5W+cGxmCCAx,  con a∈ℝ.

       No lo es, porque si una matriz A está en él, entonces también debería estar -A, pero esto no ocurre.  

   APLICACIONES   LINEALES

DEFINICION (de aplicación lineal)  Sean  E y  E′  dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K.

  Una aplicación f: E →E′  es una "aplicación lineal o un homomorfismo" de k-espacios espacios vectoriales si   f(e₁+e₂)=f(e₁)+f(e₂)   ∀e₁,e₂∈E,  y f(λe)=λf(e)   ∀e∈E,   ∀λ∈K,   esto es, si   f( λe₁+μe₂ ) = λf(e₁) + μf(e₂)    ∀e₁,e₂ ∈ E   y  ∀λ,μ ∈ K.

  Una aplicación lineal  f:E → E de un k-espacio vectorial en si mismo es un "endomorfismo".

DEFINICION ( de núcleo e imagen de una aplicación lineal) Sea  f : E → E′  una aplicación lineal entre dos k-espacios vectoriales.

 Se llama "imagen de f "  y se denota  Im f, al conjunto f(E), esto es

  Imf  = {e E: e E  con  f(e)=e}. Se llama "rango de f"  a la dimensión de Im f.

 Se llama  "núcleo de f"  y se denota  Kerf, al conjunto:   Kerf  = { e E : f (e) =MXwiIQA7}.

 DEFINICION  (de inyectiva, epiyevctiva y biyectiva) Sea   f:E→E′  una aplicación lineal entre dos k-espacios vectoriales.

    (a) Se dice que f  es "inyectiva" si dos elementos cualesquiera de E que son distintos tienen imágenes distintas, es decir, si e ≠ e′ ⇒ f(e) ≠ f(e′) ∀e,e′∈E. .  . Cuando f es aplicación lineal se usa:

    f es "inyectiva"   Ker f ={3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwVZICCKmDOeKCAx}

    (b)  Se dice que f es "epiyectiva"  si  Imf = E.

    (c)  Se dice que f es "biyectiva" si y solo si  es inyectiva y epiyectiva.

DEFINICION (de matrices equivalentes)  Sean A y A′ dos matrices de orden m × n con coeficientes en un cuerpo k. Se dice que A y A′ son "equivalentes" si están asociadas, en diferentes bases, a la misma aplicación lineal  

f : E →E′ para ciertos k_espacios vectoriales E y E′ de dimensiones n y m respectivamente.

  DEFINICION (de matrices semejantes) Sean A y A′ dos matrices cuadradas de orden n con coeficientes en un cuerpo k. Se  dice que  A  y  A′ son "semejantes" si están asociadas, en bases distintas, al mismo endomorfismo  f: E→ E  de un k_espacio vectorial E de dimensión n.

  (1) Sea f: EE un homomorfismo de K-espacios vectoriales.  Ker f es subespacio vectorial de E  y que la Im f es subespacio vectorial de E.

    (a) Kerf  = { e E : f (e) =MXwiIQA7}.

Sean u,v ∈ ker f; hay que ver si ∀3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwUl,3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC∈K se cumple que  3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwUlu +3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECv ∈ ker f.

Como u y v ∈ ker f ⇒  f(u) =VwcYhhoKNzwaCREaC2stP0EyfCIhADs=  y  f(v) =3wECAwECAwECAwECAwVvICCOJKBBZaqSVLMCSCDP 

Por ser aplicación lineal  f (3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwUlu +3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECv) = 3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwUlf(u) +3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECf(v) = ggBkVDBlIiEAOw==+3wECAwECAwECAwECAwVnICCOZKlFZZpajqopQSzH =3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwUlu +3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECv ∈ ker f.

    (b) Imf  = {e E: e E  con  f(e)=e}

Sean u,v ∈ Imf; hay que ver que ∀3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwUl,3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC∈K se cumple que 3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwUlu +3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECv ∈ Imf.

    u ∈ Imf ⇒ existe e₁∈E de modo que  f(e₁) = u

    v ∈ Imf ⇒ existe e₂∈E de modo que  f(e₂) = v

    3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwUlu +3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECv  = 3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwUlf(e₁)+3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECf(e₂) = f(3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwUle₁+3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECe₂).  Por tanto, existe un vector w=3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwUle₁+3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECe₂ de modo que    f(3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwUle₁+3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECe₂)=3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwUlu +3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECv ⇒ 3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwUlu +3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECv ∈Imf  por ser imagen de un vector de E.

  (2) Sea  f:EE una aplicación lineal.  Si  f(e), f(e),...,f(en)  son vectores linealmente independientes de E, entonces  e,....,en son también un conjunto de vectores linealmente independientes.

  Supongamos que λ₁e₁+λ₂e₂+...+λnen = 3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC con λ₁,λ₂,...,λn ∈ K .  Hay que probar que λi = 0 

∀ i= 1,...,n 

  Aplicando f a ambos lados de la igualdad:

    3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC= f(3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC) = f(λ₁e₁+...+ λnen)= λ₁f(e₁)+λ₂f(e₂)+...+λnf(en) ⇒ λi = 0  ∀i=1,...,n 

                        ↑                    ↑   

             por ser f aplicación lineal        por ser f(e₁),f(e₂),...,f(en)  L.I.

Por tanto   e₁,...,en  son también L.I.

(3) Sea  f:EE una aplicación lineal. Si  {e,e,...,en} son linealmente dependientes de E, entonces  f(e), f(e),...,f(en)  son vectores linealmente dependientes de E.

   Supongamos que {e₁,e₂,...,en} son linealmente dependientes, es decir, si λ₁e₁+λ₂e₂+...+λnen = 3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC con λ₁,λ₂,...,λn ∈ K  donde  λi ≠ 0  para algún i =1,...,n.  Aplicamos f a toda la expresión:

  f(λ₁e₁+λ₂e₂+...+ λnen)= f(3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC) =3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC⇒ por ser f lineal  λ₁f(e₁)+λ₂f(e₂)+...+λnf(en) = 3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC  donde λi ≠ 0  para algún i =1,...,n  ⇒  f(e₁), f(e₂),...,f(en ) son vectores linealmente dependientes de E′.

  (4) Sea  f:EE una aplicación lineal "inyectiva".  Si  {e,e,...,en}  son linealmente independientes de E, entonces  f(e), f(e),...,f(en ) son vectores linealmente independientes de E.

  Supongamos que  λ₁f(e₁)+λ₂f(e₂)+...+λnf(en) = 3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC  con  λ₁,λ₂,...,λn ∈ K . Hay que probar que λi=0  ∀ i = 1,...,n.

  Por ser f lineal  f (λ₁f(e₁)+λ₂f(e₂)+...+λnf(en)) = 3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC ⇒ λ₁e₁+λ₂e₂+...+ λnen ∈ Kerf  y por ser f inyectiva, el único vector del núcleo es el 3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC ; entonces λ₁e₁+λ₂e₂+...+λnen = 3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC ⇒ λi = 0 

∀ i= 1,...,n   por ser {e₁,e₂,...,en} linealmente independientes.

  (5) Sea f:(E,K)(E,K), un homomorfismo "epiyectivo" de espacios vectoriales. Probar que si  e,...,en es un sistema generador de (E,K), entonces   f(e),f(e),...,f(en) es un sistema generador de (E',K).

   Si  e₁,...,en  es un S.G. de E, entonces cualquier vector  u∈E es combinación lineal de ellos, es decir,  ∃ λ₁,λ₂,...,λn ∈K  tales que:   u = λ₁e₁+...+ λnen.

   Sea v = f(u)  un vector de E′, imagen de un vector de E.  v existe, porque al ser epiyectivo, todos los vectores de E′ son imágenes de algún vector de E.

  Se tiene que:  v = f(u)=f(λ₁e₁+...+ λnen) = λ₁f(e₁)+...+ λnf(en), y entonces, v es combinación lineal de f(e₁),...,f(en).   

    Por tanto,   f(e₁),...,f(en)   es un S.G. de E′.

DE ESTAS DOS ULTIMAS SE DEDUCE QUE SI  f   ES BIYECTIVO, ENTONCES LA IMAGEN DE CUALQUIER BASE DE  E ES BASE DE E.

  (6) Sea  f:EE una aplicación lineal (homomorfismo) cuya matriz asociada en una base cualquiera de E es A. Probar que  si e,...,en  es una base de E, entonces f(e),...,f(en) es un sistema generador de Imf  y además dim Imf = rgA.

  La imagen de una aplicación lineal queda totalmente determinada por las imágenes de los vectores de una base de E.

    Sea   u= λ₁e₁+...+ λnen ∈E    donde B = {e₁,...,en}   es una base cualquiera de E.  Aplicando  f:

      f(u) = f(λ₁e₁+...+ λnen )= 3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwUl₁f(e₁)+...+ λnf(en)  (por ser f aplicación lineal).

 Por tanto, sabiendo las imágenes de los vectores de B se sabe la imagen de cualquier vector    u∈E,  es decir,  f(e₁),...,f(en)  son un sistema generador de la imagen de f.

    Por otro lado, los vectores  f(e₁),...,f(en) ∈E′  son las columnas de la matriz asociada a   f en la base B, luego la dimensión de la imagen de f será el número de estos vectores que sean linealmente independientes, o lo que es lo mismo, el número de columnas L.I. de la matriz A, es decir, el rango de dicha matriz.

  (7) Sea  f:EE una aplicación lineal . Demostrar que  f  es inyectiva    kerf =3wECAwECAwECAwECAwECAwVVICCOQBaRaGo5qRK8.

      )  Supongamos que f es inyectiva, es decir, si   f(u) = f(v) ⇒ u=v, ∀u,v∈E.

Por otro lado  ker f = {u∈E╱ f(u)=3wECAwECAwVfICAC3DSe6Ig96agEMExkbbrWaImL} ⇒  f(u)=3wECAwECAwVfICAC3DSe6Ig96agEMExkbbrWaImL= f(ViCR1KbAEIDgsYhoAjITkGlCHvSVLA3nfMIhLhgE)  ⇒ u =3wECAwECAwECAwECAwECAwVTICCKWTSeKGA5aaYE por ser f inyectiva.

Por tanto  ker f =3wECAwECAwECAwECAwECAwVTICCKWTSeKGA5aaYE.

     ) Supongamos que ker f =3wECAwECAwECAwECAwECAwVTICCKWTSeKGA5aaYE  y  f(u) = f(v)  ∀u,v∈E.  Por ser f aplicación lineal,

    3wECAwECAwVfICAC3DSe6Ig96agEMExkbbrWaImL= f(u)-f(v) = f(u-v) ⇒ u-v ∈ker f ⇒ u-v =3wECAwECAwECAwECAwECAwVVICCOQBaRaGo5qRK8, entonces u=v. Por tanto, f es inyectiva.

  (8)  (1) Si f:EE es lineal inyectiva (monomorfismo),entonces  dimE dimE.

      (2)Si f:EE es lineal epiyectiva ( epimorfismo), entonces dimE dimE.

      (3)Si f:EE es lineal biyectiva ( isomorfismo), entonces dimE = dimE.

 (1) Por ser f inyectiva  dimker f = 0. 

Por otro lado  Imf ⊆ E′ ⇒ dimImf ≤ dimE′  y dimE = dimker f + dimImf,  entonces

dimImf = dimE ≤ dimE′.

 (2) Por ser f epiyectiva   dimImf = dimE′ ⇒ como dimE = dimker f + dimImf =

 = dimker f + dimE′ ≥ dimE′ porque dimker f ≥ 0.

 (3) Por ser f biyectivo   dimImf = dimE′  y  dimker f = 0⇒ como

    dimE = dimker f + dimImf = 0 + dimE′ = dimE′.                    

              

DIAGONALIZACION

DEFINICION (de vector y valor propio)  Sea  f:E →E  un endomorfismo de un espacio vectorial real E ≠ {3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC}. Se dice que e≠3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC, e∈E es un "vector propio" o autovector de "valor propio" o autovalor λ ∈ ℝ, si f(e) = λe.    

DEFINICION (de subespacio propio V(qRPgEwHOysVhH4oNy8PiwAhADs=Sea f:E→E  un endomorfismo de un espacio vectorial real  y λ∈ℝ  el valor propio asociado a un vector propio e∈E. Se llama "subespacio propio asociado al valor propio λ∈ℝ" al conjunto de vectores propios asociados a dicho valor propio. Se denota V(λ) y además es subes vectorial de E.

DEFINICION (de endomorfismo diagonalizable) Sea f:E→E  un endomorfismo de un espacio vectorial real E≠{3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC} de dimensión finita Se dice que f es "diagonalizable" si existe una base de E en la que la matriz de f es diagonal. La matriz A es "diagonalizable" ⇔ existen matrices cuadradas de orden n, B invertible, y D diagonal, tales que D= B⁻¹AB, donde A es la matriz asociada a f, B es la matriz cuyas co-lumnas son los vectores propios de f y D la matriz cuya diagonal son los valores propios de f.

TEOREMA DE DIAGONALIZACION Sea f: E → E un endomorfismo de un espacio vectorial real E ≠ {3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC} de dimensión finita  n  y sea A la matriz asociada a f en una base cualquiera de E y sea

P(x) =3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC⋅...⋅gif;base64,R0lGODlhAwASAHcAMSH+GlNvZnR3Y 3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECel polinomio característico de A. Entonces:

    f es diagonalizable ⇔  (1) m₁ +...+3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC= n

                      (2) dim V(IQHHBOIwFpzF5jAqQyECkmwFpgE3ihNUoLNgR4RA) = kcKPJ0WThIW9JZgQAgD1iCWR8RHIeIBgtBADs=   ∀i = 1,...p  

(1) Probar que dos vectores propios correspondientes a valores propios distintos, de un endomorfismo f de un K-espacio vectorial E, son linealmente independientes.

  Sea u un vector propio de valor propio λ y sea v un vector propio de valor propio μ, es decir,  f(u) = λu  y  f(v) = μv.  Si u y v fueran dependientes v = tu y A la matriz asociada a f , se cumpliría que

 Av = Atu = tAu = tλu = λtu  . Por otro lado Av = μv = μtu ⇒ λtu = μtu. Dividiendo por t, tenemos que   λu = μu.  Por tanto, μ = λ, que contradice el enunciado. Entonces, u y v son linealmente independientes.

  (2) El 0 es un valor propio de f Endk f no es invertible.

     ) Si el 0 es valor propio de f, entonces ∃ u∈E ╱ f(u) = 0.u = 3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC ⇒ u∈kerT.

 Como  dimker f + dimImf = dimE,  entonces, si A es la matriz asociada al endomorfismo f,     rgA = dimImf < dime="n," es="" decir,  ="">3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwVA= 0  con lo cual A no tiene inversa, es decir f no es invertible.

  ) Supongamos que  f no es invertible, es decir,  rgA = dimImf < n="dimE. " como  ="" dimker="" f="" +="" dimimf="dimE," entonces  ="" dimker="" f=""> 0. Por tanto, existe un vector  u∈E  tal que    f(u) =3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC = 0.u ⇒  el 0 es valor propio de f.

   También vale para demostrar que no es inyectivo o epiyectivo.

(3) Conociendo los valores propios de  f EndkE calcular los valores propios de f¹.

   Supongamos que  α≠0∈K   es valor propio de f, es decir, existe  u∈E ╱ f(u)=α.u.   Aplicamos f⁻¹ a ambos lados de la igualdad y tenemos 

   u = 3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC(u) = f⁻¹(f(u)) = f⁻¹(α.u) = α.f⁻¹(u) ⇒ f⁻¹(u) = (3wECAwVTINAtE2CeItOUKFqxrfnG5xx3ShAkAFXQ.u = α⁻¹u.

Por tanto, los valores propios de f⁻¹ son los inversos de los valores propios de f.

(4) Conociendo los valores propios de fEnd_{k}E  calcular los valores propios de  f².

  Supongamos que  α≠0∈K  es valor propio de f, es decir, existe  u∈E ╱ f(u)=α.u.   Aplicamos f a ambos lados de la igualdad y tenemos 

    f(f(u)) = f(α.u) = α.f(u) = ααu = α²u ⇒ f²(u) = α²u

Por tanto, los valores propios de f²  son los cuadrados de los valores propios de f.

(5) Sea f EndkE  cuya matriz asociada es A, y sea ft el endomorfismo traspuesto (matriz asociada At). Probar que ambos tienen los mismos valores propios. ¿Tienen los mismos vectores propios?  En caso negativo poner un contraejemplo.

  Vamos a ver que los polinomios característicos de f y ft son iguales.

  Por las propiedades de la traspuesta: (A-xI)t = At-xIt = At-xI.  Tomando determinantes:

           Pf(x) =7QZNiChU2AVkZ+9SpmCNijh0c85XNUC6JFX4jQiB= LMLQYeeRkekR3RBkaUCEGAhqARRsBEF4FACMRYHY=7LmiHuWghADs= (x).

 Como los valores propios son las raíces del pol. característico, ambos tienen los mismos valores propios.

 No tiene los mismos vectores propios salvo que A sea simétrica ( A = At).

Por ejemplo:L6uOlottIsBdOIPO1SCEVZvZi2u9CsByimcEVSd2   (1,-1) es vector propio de valor propio 1.

Sin embargo:  QIBwSCwaj8ghqSFJJpdNp3SaxBBAE0EiSgWUsluh   no tiene al vector (1,-1) como vector propio

Los valores propios de los dos son     α=1   y   β=2.

(6) V(λ) es subespacio vectorial de E.

  Hay que probar que si u, v son vectores propios de valor propio  λ, entonces  αu+βv  es también vector propio de valor propio λ.

    Partimos de f(u) = λu y f(v)=λv.  f(αu+βv)=αf(u)+βf(v)=αλu+βλv=λ(αu+βv)  Entonces  αu+βv es vector de valor propio λ. También de cumple que V(λ) =Ker (f-λI), ya que si u es vector propio de valor propio λ∈ℝ,   f(u) = λu f(u) – λu = 3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwVZICCKmDOeKCAx (f-λI)u = 3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwVZICCKmDOeKCAx u Ker (f-λI).

(7) Sea f Endk(E).  Demostrar que los valores propios de f son las raíces del polinomio característico.   ¿ Cuántos valores propios puede tener ?

   Sea 3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC la matriz asociada a f. Si λ es un valor propio de f, entonces f(u)=λu para algún vector  u∈E, u3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwVVICCOZGle  es decir,  f(u)-λu =3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC ⇒ (f-λI).u =3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC

   Entonces  u∈ker(f-λI).  Por tanto  f-λI   no es inyectivo ni epiyectivo, con lo cual el rango de la matriz  A-λI  es menor que n, es decir, |(A-λI)|=0. Como el polinomio característico es    P(x)= |(A-xI)|, se deduce que  λ es la raíz de dicho polinomio.  Como el grado del polinomio característico es n (orden de A), puede tener n raíces, y por tanto n valores propios.

   (8) Demostrar que el polinomio característico de un endomorfismo f, es invariante por cambios de base, es decir, es el mismo en cualquier base de un K-espacio vectorial E.

  Sea  A la matriz asociada a f en una base B₁ de E, y sea 3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwUxICA6 la matriz asociada a f en otra base B₂. Por la fórmula del cambio de base para endomorfismos, existe una matriz  B  de paso tal que B⁻¹AB =3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwU0ICAC

3wECAwECAwECAwECAwVEIKAlQUlcQKqmVQFsDrKu (x)=|3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwU0ICAC-xI|=|B⁻¹AB - xI| = |B⁻¹AB - xB⁻¹B| = |B⁻¹(A-xI)B| = |B⁻¹|⋅|A-xI|⋅|B| = (QNFuSBwGj0CLArdUMklLwGPIcDoBlQWAUrBGJTsB))⋅|A-xI|⋅|B|

                     = |A-xI| = PA(x)

(9) Toda matriz cuadrada de orden n descompone, de forma única, como suma de una matriz simétrica y otra hemisimétrica.

  Sea M una matriz cualquiera de orden n. Hallamos H y S matrices de la siguiente forma:

H = 3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECy S = TTEEAOw==  Vamos a ver que H es una matriz hemisimétrica, es decir, H = -Ht  y S es una matriz simétrica, es decir, S = St. Por las propiedades de la traspuesta:

Ht =g4ZRCKalF2tzTTOhG7Orr2+3x70jlvkTM9NTWRtV = 3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC= -3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC= -H;    St = LwTvVE+PZI7MTYoPtCzRHoJ2CRbEY+BHuiIYCtbc=wMHCw8SxGAGlwyFQGEfFABlWxRzOxIwjFsSnkNVR = S 

  Por otra parte M = 3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC+ TTEEAOw=== H + S ;  por tanto toda matriz se puede escribir como suma de una simétrica y una hemisimétrica.

  Vamos a ver que es única:

  Supongamos que M = S + H = S' + H', es decir, que se escribe de dos formas distintas; restando las dos igualdades tenemos que 0 = S - S' + H - H';

entonces   S - S' = - ( H - H') , pero S - S' es simétrica y H - H' es hemisimétrica, y la única matriz que es hemisimétrica y simétrica a la vez es la matriz nula, por tanto S - S' = 0 y H - H' = 0, es decir S = S' y H = H'. Por tanto, la forma de escribir esa suma es única.

TOPOLOGIA

 (2) Sea A ⊂ ℝⁿ. Se dice que un punto  x∈A es un "punto interior de A" si existe una bola centrada en x contenida enteramente en A, es decir, si ∃ε >0   tal que  B(x,ε) ⊆A.  Al conjunto de puntos interiores de A se le llama  "interior de A"  y se denota3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwU3ICCKF6IA.  Se dice que un punto  x∈ℝⁿ  es un "punto exterior de A" , si es interior de su complementario.

(3) Sea A⊂ℝⁿ. Se dice que un punto x∈ℝⁿ, es un punto de "acumulación de A" si toda bola abierta reducida centrada en x contiene algún punto de A, es decir,  ∀ε>0  VopRaBQYRplBHGTJtooohyoQsLwxfScJiiUshADs(x,ε) ∩ A ≠vwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC.  Al conjunto de puntos de acumulación de A se le llama "acumulación de A"  y se denota  A′. (4) Sea A⊂ℝⁿ. Se dice que un punto x∈ℝⁿ  es un "punto adherente o punto clausura de A" y se denota 3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwUxICA6 si toda bola abierta de centro x contiene algún punto de A". , es decir,  ∀ε>0   B(x,ε) ∩ A ≠vwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC.  Al conjunto de puntos adherentes de A se le llama "adherencia o cierre de A.

   Todo punto de acumulación es adherente, pero no al revés.

(5) Sea A⊂ℝⁿ. Se dice que un punto  x∈A, es un "punto aislado de A"  si  ∃ε>0   tal que    B(x,ε) ∩ A = {x}.

(6) Sea A⊂ℝⁿ. Se dice que un punto x∈ℝⁿ es un "punto frontera de A" si en todo entorno suyo hay puntos de A y de su complementario, es decir, ∀ε>0 B(x,ε)∩A ≠vwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC y B(x,ε)∩{ℝⁿ - A} ≠vwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC. Al conjunto de puntos frontera de A se le llama “frontera de A” y se denota ∂A.

DEFINICION (CONJUNTOS)

  Un conjunto  A⊂ℝⁿ  es "abierto", si es entorno de cada uno de sus puntos, es decir, ∀x∈A  ∃ε>0   tal que  B(x,ε)⊆A.  Un conjunto  C ⊂ ℝⁿ se dice  "cerrado" si su complementario   ℝⁿ - C es abierto.

  Un conjunto  A⊂ℝⁿ  está "acotado", si está incluido en una bola abierta.

  Un conjunto  A⊂ℝⁿ  es "compacto"  ⇔   es cerrado y acotado. (Teorema de Heine Borel).

OBSERVACIÓN

  Hay conjuntos que no son ni abiertos ni cerrados. Por ejemplo (3,7]⊂ℝ.  Es lo mismo que decir, que un conjunto que no es abierto,  NO necesariamente es cerrado y viceversa.

DEFINICION (de cotas, supremo, ínfimo, máximo y mínimo)

(1) Sea A⊂ℝ . Se dice que y∈A es "cota superior" de A si y≥x  ∀x∈A.

(2) Sea A⊂ℝ . Se dice que y∈A es "cota inferior" de A si y≤x  ∀x∈A.

(3) Sea A⊂ℝ . Se dice que A está  "acotado superiormente" si tiene cotas superiores.

(4) Sea A⊂ℝ . Se dice que A está  "acotado inferiormente" si tiene cotas inferiores.

(5) Sea A⊂ℝ  acotado superiormente. Se llama "supremo de A" a la menor de las cotas superiores. Si el supremo de A pertenece a A se le llama "máximo de A".

(6) Sea A⊂ℝ  acotado inferiormente. Se llama "ínfimo de A" a la mayor de las cotas inferiores. Si el ínfimo de A pertenece a A se le llama "mínimo de A".

(7) Un conjunto A se dice "acotado" si  posee cota superior e inferior.

PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS ABIERTOS

Por convenio, se considera que el conjunto vacío vwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECes un abierto.

    1. Las bolas abiertas son abiertos.

    2. El conjunto total  ℝⁿ es abierto.

    3. La intersección de un número finito de abiertos es abierto.

    4. La unión de una familia arbitraria de abiertos es abierto.

    5. Un conjunto es abierto si y solo si es unión de bolas abiertas.

PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS CERRADOS

   1. Las bolas cerradas es un cerrado.

   2. El conjunto vacío vwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC y el total ℝⁿ son cerrados.

   3. La unión de un número finito de cerrados es cerrado.

   4. La intersección de una familia arbitraria de cerrados es cerrado.

    (1) Un punto  x∈ℝⁿ  es un punto de acumulación de A⊂ℝⁿ   todo entorno de x contiene infinitos puntos de A.

    ) Supongamos que x es punto de acumulación y que existiera un entorno de x que sólo contuviera un número finito de puntos de A distintos de x.  Sean  x₁,...,xs estos puntos.  Sea  r=min d(x,xi)  para  i=1,...,s Cualquier bola de centro x y radio menor que r no contiene ningún punto de A distinto de x, lo que contradice que éste sea un punto de acumulación de A.

    )  Si todo entorno de x contiene infinitos puntos de A, entonces dicho entorno corta a A en puntos distintos de x, que es la definición de que x es punto de acumulación de A.

  (2) Un subconjunto A ⊂ ℝⁿ  es cerrado contiene todos sus puntos de acumulación.

    ) Supongamos que A es cerrado y P un punto de acumulación de A.  Vamos a ver que  P∈A.  Si no fuera así, entonces P pertenecería al complementario de A  (ℝⁿ-A)  que es abierto y según la definición de abierto existiría B(P,r) ⊂ Ac . Esta bola no cortaría a A y mucho menos reducida, por lo que P no sería punto de acumulación de A, en contra de lo supuesto, Por tanto P∈A.

    ) Supongamos que A contiene todos sus puntos de acumulación, es decir A′⊂A. Vamos a ver que Ac es un conjunto abierto. Sea P∈Ac. Supongamos que no fuera abierto, entonces ninguna bola centrada en P estaría contenida en Ac y toda bola centrada en P tendría puntos de A podríamos decir que toda bola reducida de centro P contiene puntos de A ⇒ P∈A′ ⊂ A ⇒ P∈ A y habíamos supuesto lo contrario. Por tanto Ac es abierto y entonces A es cerrado.

 (3) Si A es finito no tiene puntos de acumulacion.

    Supongamos que P fuera un punto de acumulación de A, entonces una VopRaBQYRplBHGTJtooohyoQsLwxfScJiiUshADs(P, r) sólo podría contener un nº finito de puntos de A; sea P′ el punto de A más cercano a P y sea r′ su distancia; si tomamos r" <>′ en VopRaBQYRplBHGTJtooohyoQsLwxfScJiiUshADs(P,r") no podría haber un solo punto de A y por ello P no puede ser punto de acumulación de A.

SUCESIONES DE NUMEROS REALES

DEFINICION (de sucesión y límite de una sucesión)  Una "sucesión" es una aplicación x: ℕ→ℝ  que se denota Jk1CHiAEJA+QegC+wMImlXIRIRAatmVWHRsnCkggdonde vwU7IIAFzrcUQKoCX4QRz7XOgHdM9GzjeeohEEVG ∈ℝ. Se dice que vwU7IIAFzrcUQKoCX4QRz7XOgHdM9GzjeeohEEVG→ ℓ  o QqJJFQR6L0qx266QiueCw1isSEs2gQKAhDEzEYOF=   si  ∀ε>0   ∃ n₀∈ℕ  tal que  n ≥ n₀ ⇒ ‖vwU7IIAFzrcUQKoCX4QRz7XOgHdM9GzjeeohEEVG - ℓ ‖ <>ε. 

DEFINICION Una sucesión de números reales wSaVKBEhEBqaZFsdGycKSCBh0tSbAdyvESgOErWL  es:

  (a) Convergente si su límite es un número real.

   (b) Divergente o un infinito si PqAYonJlYFZ6AIDgkCADs== +∞   ó   PqAYonJlYFZ6AIDgkCADs== -∞.

   (c) Oscilante si no tiene límite (finito o infinito).  Por ejemplo  {1, -1, 1, -1,....}.

   DEFINICION  Una sucesión de números reales Jk1CHiAEJA+QegC+wMImlXIRIRAatmVWHRsnCkgges:

   (1) Monótona creciente si xn ≤ xn+1∀n∈ℕ.

   (2) Monótona decreciente si xn ≥ xn+1∀n∈ℕ.

   (3) Estrictamente creciente si xn <>n+1∀n∈ℕ.

   (4) Estrictamente decreciente si xn > xn+1∀n∈ℕ.

   (5) Acotada inferiormente si ∃m∈ℝ  tal que m <>n ∀n∈ℕ.

   (6) Acotada superiormente si ∃M∈ℝ  tal que xn < m ="">∀n∈ℕ.

   (7) Acotada si lo está superior e inferiormente, es decir, si ∃k∈ℝ  tal que |xn| < k ="">∀n∈ℕ.

CRITERIO DE CAUCHY (para sucesiones) Una sucesión Jk1CHiAEJA+QegC+wMImlXIRIRAatmVWHRsnCkggen NMAoDHnt8aBgUWYN6XlIHHQZyg0JDgRdDRoNBADs tiene límite finito ⇔  es una sucesión de Cauchy, es decir,   ∀ε>0  ∃n₀∈ℕ  tal que  m,n≥n₀  ⇒‖xn – xm‖ <>ε.

REGLA DE STOLZ (para el cálculo de límites) Si wSaVKBEhEBqaZFsdGycKSCBh0tSbAdyvESgOErWL y wauXuhAgDxe3ZUeTRxsZJQlIH2LU1p8B3rEQJg0Rson dos sucesiones de nºreales que cumplen:

    (1)  wauXuhAgDxe3ZUeTRxsZJQlIH2LU1p8B3rEQJg0R es extrictamente monótona.

    (2)  hk6slECJMJg5FZgQbapiYrEpS7x6geWLoSHDmJgI= ±∞      o       hk6slECJMJg5FZgQbapierEpS7x6geWLoSHDmJgI= HKIbB2QVsiHb26TDfXN1SKBchBRMgT3V3SYooDYc= 0   entonces:    si   k+oideSqnfGIRTaeH5OOnlhDEQe8lNEAA7 =3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwUmICBW   (finito o infinito) ⇒  ∃  PRCxoXwEFb53TSh0bLQrUrlAtGgCOAC8Y7UjHLBR= rUteBJ9MRbSfUbg3AsLVAfd90zbbLqhAQBADs= =3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwUmICBW .

REGLA DE LA RAIZ  Si  wSaVKBEhEBqaZFsdGycKSCBh0tSbAdyvESgOErWL  es una sucesión de números reales positivos, entonces:

     AMHDeCcCGAYEJkQrFs9IcwMipePlIaJOBnRoBCUN= ℓ (finito o infinito) ⇒  ∃   0kTHDRAwaT0ZAROgHoNa2fJzMjDBBQMUDhW6gJUQ= ℓ.

PROPIEDAD SUCESIONES DE NUMEROS REALES

  Toda sucesión monótona creciente (resp. decreciente) y acotada superiormente (resp. Infer.) es convergente y el límite de la sucesión es el supremo (resp. ínfimo) de la misma.

   Por ser acotada, posee supremo al que llamamos S. Veamos que es el límite: sea B (S,ε ), hay un término de la sucesión por ejemplo xm que está contenido en ella,  es decir que cumple S-ε <>m ≤S . Por ser monótona creciente si n > m  se cumplirá que S-ε <>m <>n ≤ S,  luego también será cierto que ∀n≥m, xn∈B(S,ε). Por tanto, por el criterio de Cauchy S es el límite.

CONTINUIDAD  Y  DIFERENCIACION

DEFINICION (de límite de una función en un punto)  Sea  f:C → ℝq  una función definida en un conjunto  C ⊂ ℝp y sea a ∈ ℝp  un punto de acumulación de C.  Se dice que  ℓ∈ℝq es el límite de f  en el punto a y lo denotaremos  QIBwSCwaj8jkUYXoGD0GpXRKRZYIKGQKCygFKoCW= ℓ,  si   ∀ε>0,  ∃δ>0  tal que si   x ∈ C - {a}, ‖x-a‖δ  ⇒‖f(x) - ℓ ‖ <>ε   es decir,  ∀ε>0,  ∃δ>0  tal que si  x ∈ B*(a,δ)∩C ⇒ f(x) ∈ B(ℓ,ε).

CRITERIO DE CAUCHY (para funciones)  Sea  f:C→ ℝq una función definida en un conjunto C⊂ ℝp  y sea a∈ ℝp un punto de acumulación de C. Entonces  QIBwSCwaj8jkUYXoGD0GpXRKRZYIKGQKCygFKoCW= ℓ ∈ ℝq  ⇔ ∀ ε > 0,  ∃δ>0 tal que si x,x′∈C - {a},  ‖x-a‖δ,  ‖x′-a‖δ ⇒ ‖f(x) - f(x′)‖ <>ε.

DEFINICION (de función continua en un punto)

   (1) Una función  f:D⊂ℝⁿ→ ℝm  es continua en un punto a∈D  si y solo si lo es cada una de sus componentes.

   (2) Una función  f:D⊂ℝⁿ→ℝ es continua en un punto a∈D  si y solo si QIBwSCwaj8jkUYXoGD0GpXRKRZYIKGQKCygFKoCW= f(a).

DEFINICION (de derivada según un vector y direccional)   Sea f:C→ ℝq una función definida en un abierto C⊂ ℝp

   Se llama “derivada de f en aC respecto de un vector  u p, u ≠3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC y se denota,  Du(f(a)) , al valor del siguiente límite si existe:  Q5hJOdKAJliWZ+erScx7dtUJpvGzdsIrs+9g+NMX = Du(f(a)). Si ‖u‖=1 se le llama "derivada direccional" de f en a en la dirección del vector u.

DEFINICION (de derivada parcial) Sea a = (a₁,...,ap) un punto de ℝp  y sea f: ℝp → ℝ una función real. Se define la “derivada parcial de f con respecto a xi” en el punto a al siguiente límite:  

ABwDoQJIwAIOIQgAOw==

 SE CUMPLE QUE LAS DERIVADAS PARCIALES SON LAS DERIVADAS DIRECCIONALES EN LAS DIRECCIONES DE LOS VECTORES DE LA BASE CANONICA DE Rp

TEOREMA DE SCHWARZ  Sea f:U→ ℝq  una función definida en un abierto  U ⊆ ℝ² y sea (a,b)∈C. Si f  tiene derivadas  xXCha4db8URRh6vcQBH+DVlyGh4aEiouMjEN2g05, xbCha4db8UfRg6vcOBX+DVlyGh4aEiouMjEN2g05, 7vJQHCFDligJnhk0oCn5iUWQAF3REJ2V+R4xKiGi  en un entorno de (a,b)  y la función   7vJQHCFDligJnhk0oCn5iUWQAF3REJ2V+R4xKiGi  es continua en (a,b),  entonces existe  gWkOJRsAz4JCGF2GkZQUFdpJkRoeCBEjRqxCF2Xo (a,b)   y    3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC (a,b)=3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC (a,b).

DEFINICION ( función diferenciable en un punto)  (1) Sea f: C→ ℝq una función definida en un abierto  C ⊆ ℝp y sea a ∈ C. f es diferenciable en a si lo es cada una de sus componentes, en cuyo caso las componentes de la diferencial de f son ( df1(a),…,dfq(a) ).

   (2) Sea f: C→ ℝ una función definida en un abierto  C ⊆ ℝp y sea a ∈ C.  Se dice que “f es diferenciable en a” si existe una aplicación lineal, la diferencial de f en a, que denotaremos df(a): ℝp → ℝ, y tal que   TiCYpNS0FijlZMJlvbm4cSUnRMMtXeG382iTQtbM   para h ∈ ℝp .

TEOREMA

  • Si f es diferenciable en a, entonces es continua en a. El recíproco no es cierto.

  Si f  es diferenciable en a,  entonces  f(a+h)-f(a)=df(a)(h)+ε(h)‖h‖   y  KdOHjlUkjDiC7dIGB3exULQl2D4qIdBoufFjzAAA)=0.

TW261T1yIlBJRFJkkdMJGOWw4gOC1k3BwlLJNEAA = Te0rJR30ytmoTEhnxLVHDY8mpgyTVdElXxOorqQ6] = i24TeY+GLtueFax6ukejUsbvUipSZeuw0pcunyR4 + Bsjy7hRFLx1lZgFnjYSDPRDqHnUaqjGlrig21eji = df(a)(0)+0 = 0 ⇒ R1ADooEHE0Ai3RoB4mATEl2hwAIGaVbJVwxMXBLX = f(a) ⇒ f es continua en a.

DEFINICION   Sea  f: C→ ℝq una función definida en un abierto C ⊆ ℝp y sea a ∈ C. Si f es diferenciable en a, la matriz q x p asociada a la aplicación lineal  df(a): ℝp → ℝq en las bases canónicas se llama matriz “jacobiana de f en a” y se denota Jf(a).

Jf(a) =vQGwGJPIpXYveDSZGwzyaiz2WSVXRbVmJxV9lloQ    donde 3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwU1ICBe,…,JACwEAOw==  son las componentes de f  y a = ( x1,…,xp ). 

 DEFINICION (de gradiente de f)

   Sea f: C→ℝ una función real definida en un conjunto C ⊆ ℝp diferenciable en a ∈ C, se llama "gradiente de f en a", f(a) , al vector de ℝp que tiene por componentes las derivadas parciales de f en a, es decir:

    ∇f(a) = (xDzk8oSdwA6HwjncxuvEABGlhAyFtBNAz5+PbuYZ )

OPTIMIZACION

 

DEFINICION  Sea f: C→ℝ una función real definida en un conjunto  abierto C ⊆ ℝp.

(1) Un punto a∈C es un máximo relativo (local) estricto de f si f(a) > f(x) ∀x∈B(a,r)∩C.

(2) Un punto a∈C  es un mínimo relativo (local) estricto de f si f(a) < f(x)="">∀x∈B(a,r)∩C.

    Si no dice estricto se pone ≥  o ≤ respectivamente.

    Se llaman  "extremos relativos o locales de f " a los máximos y mínimos locales de f, si existen.

DEFINICION ´Sea f:C→ℝ una función real definida en un conjunto  abierto C ⊆ ℝp

(1) Un punto a∈C es un máximo global estricto de f si f(a) > (x) ∀x∈C  con x≠a.

(2) Un punto a∈C es un mínimo global estricto de f si f(a) < f(x)="">∀x∈C  con x≠a.

    Si no dice estricto se pone ≥ o ≤ respectivamente.

Se llaman  "extremos globales de f " a los máximos y mínimos globales de f, si existen.

DEFINICION   Sea f: C→ℝ una función real definida en un conjunto abierto C ⊆ ℝp.

  Si f es diferenciable, se llaman "puntos estacionarios o críticos de f " a los puntos a∈C  tales que df(a)= 0.

 Se llaman "puntos de silla o de ensilladura de f" a aquellos puntos criticos de la funcion que no son extremos relativos de f.

DEFINICION  Sea f:C → ℝ una función real definida en un conjunto  abierto C ⊆ ℝp y sea  ϕ:C → ℝq (q < p)="" una="" función="" definida="" en="" c.="" sea="" s="" el="" conjunto="" de="" los="" puntos="" de="" c="" que="" satisfacen="" las="" restricciones="" definidas="" por="">ϕ , esto es :  S={x∈C: ϕ(x)=0} = {x∈C: ϕ₁(x)=0,...,ϕq(x)=0}  donde  ϕ₁,...,ϕq son las componentes de ϕ.  Sea a∈S:

   (1) f tiene en a un máximo relativo estricto condicionado por ϕ(x)=0  si existe un entorno reducido cilEAA7 de a tal que  f(a) > f(x)  ∀x∈cilEAA7∩ S.

   (2) f tiene en a un mínimo relativo estricto condicionado por  ϕ(x)=0  si existe un entorno reducido  cilEAA7de a  tal que  f(a) < f(x) ="">∀x∈cilEAA7∩ S.

    Se llaman extremos relativos o locales de f condicionados por ϕ(x)=0 a los máximos o mínimos relativos de f condicionados por ϕ(x)=0 si existen.

CONDICION NECESARIA DE EXTREMO RELATIVO (sin restricciones)

   Sea f:C→ℝ una función real definida en un conjunto  abierto C⊆3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC  y sea a∈C.  Si f  es diferenciable en a  y tiene un extremo relativo en a,  entonces la diferencial de f en a es nula, es decir : 3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC(a) = 0,  3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECi = 1,...,p.  Equivale a decir, que si f tiene un extremo relativo en a, entonces a es un punto crítico de f  pero no al revés.

CONDICION SUFICIENTE DE EXTREMO RELATIVO (sin restricciones)

   Sea f:C→ℝ una función real de clase C² definida en un conjunto abierto C⊆3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC  y sea a∈C  un punto crítico de  f . Entonces:

   Si  d²f(a)  es una forma cuadrática definida positiva, entonces a es un mínimo relativo estricto de f en C.

   Si  d²f(a)  es una forma cuadrática definida negativa, entonces a es un máximo relativo estricto de f en C.

   Si d²f(a) es una forma cuadrática indefinida, entonces a no es extremo relativo de f en C.

CONDICION NECESARIA DE EXTREMO LOCAL CONDICIONADO O TEOREMA DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE  (con restricciones de igualdad)

  Sean  f:C→R, ϕ:C→vwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC  dos funciones definidas en un abierto C⊆3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC  ( q < p="" ).="" si ="" f="" y="">ϕ  son de clase C¹  en C, y a∈C es un extremo relativo de f condicionado por ϕ(x)=0  con rg(dϕ(a))=q  (condición de regularidad) , entonces existen multiplicadores de Lagrange λ₁,...,λq∈ℝ tales que la diferencial de la lagrangiana L en (a;λ)  es cero, es decir:

 3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC(a) -λ₁ QkEAOw==)(a)- ... –λqVnW0sTQ5Ldmt1kg4BfScUYG9nHm9wRHpUEydsTSQ)(a) = 0, 3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECi=1,...,p.  Equivale a decir que si a∈C  es extremo relativo de f condicionado por ϕ(x)=0, entonces a es un punto crítico de la Lagrangiana.

CONDICION SUFICIENTE DE EXTREMO CONDICIONADO (con restricciones de igualdad)

  Sean f:C→R, ϕ:C→vwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC  dos funciones de clase C² definidas en un abierto C⊆3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC ( q < p="" ) ="" y="" sea="">∈C  tal que ϕ(a)=0 con rg(dϕ(a))=q.  Si existen multiplicadores de Lagrange λ₁,...,λq∈ℝ  tales que  dL(a;λ)=0  y q′ es la forma cuadrática definida por la restrcción de d²Lx(a;λ) (con respecto a las variables x₁,...,xp ) al subespacio  V={x∈3wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC: dϕ(a)(x)=0} = ker(dϕ(a))  entonces se cumple que:

  Si q′ es definida positiva, entonces a es mínimo relativo de f condicionado por ϕ(x)=0.

  Si q′ es definida negativa, entonces a es máximo relativo de f condicionado por ϕ(x)=0.

  Si q′ es indefinida, entonces a no es extremo relativo de f condicionado por ϕ(x)=0.

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