Teoría de flujos: ley de la viscosidad de Newton, tensión superficial y fórmula de Laplace

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Ley de la viscosidad de Newton:
Para un flujo bien ordenado (laminar) en el que las partículas de fluido se mueven en línea rectas y paralelas (flujo paralelo), la ley establece que para ciertos fluidos conocidos como “fluidos newtonianos”, el esfuerzo cortante sobre una interfaz tangente a la dirección de flujo es proporcional a la tasa de cambio de velocidad con respecto a la distancia, donde la diferenciación se toma en una dirección normal a la interfaz.
Matemáticamente se establece como:
Detalle de la reacción:
- Forma cualitativa:
- Forma cuantitativa:
La viscosidad no depende en gran medida de la presión, sin embargo se puede observar que la viscosidad de un liquido disminuye con un aumento en la temperatura, mientras que en un gas ocurre lo contrario. En un liquido, las moléculas tienen una movilidad limitada con fuerzas cohesivas grandes presentes entre moléculas. Un aumento en la temperatura disminuye la cohesión entre las moléculas y existe un decrecimiento en la pegajosidad del fluido, es decir, desciende la viscosidad. En un gas, las moléculas tienen una gran movilidad y generalmente están apartadas, existe poca cohesión entre ellas, a medida que aumenta la temperatura se producirá una mayor pegajosidad y con ello mayor viscosidad. La variación de la viscosidad de los gases con la temperatura puede aproximarse por alguna de las siguientes dos leyes conocidas:
Ley e Sudherland:
Ley de potencia:
Para determinar la viscosidad de los liquidos se utiliza:
Donde A y B son constantes encontradas en una curva particular.
La mayor parte de los liquidos y los gases son newtonianos y por lo tanto se comportan de acuerdo con la ley de viscosidad de Newton. Existe también una ley de viscosidad muy general, la ley de la viscosidad de Stokes.
Coeficiente de viscosidad ( ), tiene dimensiones (ML
-1T-1), siendo su unidad en el SI (kg/mseg) sin ningún nombre en particular.
Obtencion de la ecuación de dimensiones:


Donde F
c = fuerza cortante.
1. Si aplicamos una fuerza cortante este se deforma permanentemente.
2. Cuando quitamos una fuerza cortante el fluido no recupera ninguna de las configuraciones anteriores.
3. La velocidad de las partículas de fluido que están en contacto con un solido que se mueve en el fluido es nulo al solido.
Viscosidad dinámica y cinematica:



Comportamiento viscoso newtoniano y no newtoniano:
Es un comportamiento típico de los fluidos. Cuyas características a tener en cuenta son:
1. Cuando un fluido se desplaza y entra en contacto con un contorno salida, las partículas que pegan al contorno adquieren la misma velocidad que el. Este fenómeno se llama adherencia o pegajosidad.
2. La materia fluida considerada macroscópicamente como un medio continuo puede soportar fuerzas de atracción, porque dichas fuerzas romperían la continuidad del medio. Cualquier fuerza cortante que actue sobre un fluido, actua doformandolo uniformemente y cuando deja de actuar no se experimenta ninguna recuperación de la configuración anterior.

Tension superficial. Formula de Laplace.
Tension superficial en la interfaz de un liquido y un gas. Este fenómeno, que es una fuerza de tensión distribuida a lo largo de una superficie, se debe primordialmente a la atracción molecular entre moléculas diferentes (adhesión) y parecidas (cohesion). En el interior de un liquido, las fuerzas cohesivas se cancelan, pero en la superficie libre del liquido las fuerzas cohesivas desde abajo exceden las fuerzas adhesivas desde el gas localizado por encima, dando como resultado una tensión superficial.
La tensión superficial se mide como una intensidad de carga lineal o tangencial a la superficie y se da por unidad de longitud de una línea dibujada sobre la superficie libre. Ademas, la carga es perpendicular a la línea, se localiza sobre la superficie libre. La fuerza transmitida desde la superficie de fluido se mide por unidad de longitud y es conocida como coeficiente de tensión superficial ( ). Para una interfaz agua-aire es ( ) = 0’0730 N/m, y mercurio-aire ( ) = 0’514N/m.
Formula de la tensión superficial:
Formula de Laplace:

Caso aplicado a una gota en contacto con aire:

Caso aplicado a una burbuja de agua:

Recipiente de un liquido:
Las partículas dentro del fluido se atraen unas por otras.
Cerca de la superficie la esfera se deforma. Para que una particula suba, hay que darle energía, por eso se dice que la superficie es un almacen de energía.




Considerese que un liquido se encuentra en contacto con un solido, como en el caso de un liquido dentro de un tubo de vidrio. Si la adhesión del liquido con el solido es mayor que la cohesion en el liquido, entonces el liquido subirá dentro del tubo y formara con el solido un menisco curvado hacia arriba medido por un angulo ( ) .
La altura capilar para un fluido y un solido depende de ( ) y del diámetro interior del tubo. Si la adhesión con el vidrio es menor que la cohesion con el liquido, entonces se consigue un menisco curvado hacia abajo medido mediante ( ) en el solido. Este efecto es conocido como capilaridad.

Elasticidad y compresibilidad volumétrica:
Los liquidos presentan solo una ligera compresión bajo presión. A pesar de que esta comprensibilidad es pequeña, algunas veces resultan importantes, por ejemplo, puede serlo a elevadas presiones. Para medir la compresibilidad de un liquido se presentan dos cantidades. El coeficiente de compresibilidad ( ), se define, utilizando V para el volumen como:
donde el subíndice T indica que la compresión del liquido ocurre a temperatura constante (compresión isoterma). El inverso de ( ) se conoce como modulo de elasticidad volumétrica, denotado como K, luego:
Para agua a temperatura ambiente y presión atmosférica, K = 2068 MPa, incrementándose esta con la presión.
Ahora lo analizaremos.

Campo de velocidad:
Mediante el método del campo, especificando las coordenadas xyz y el tiempo t, pueden determinarse las componentes de velocidad de un elemento fluido en la posición particular y en el tiempo especificado. Expresando, de la siguiente manera, la velocidad de todas las partículas en el flujo:
V
x = f(x,y,z,t); Vy = g(x,y,z,t); Vz = h(x,y,z,t)
Si las propiedades y características del flujo en cada punto del espacio permanecen invariables en el tiempo, el flujo se conoce como flujo permanente. Por otro lado un flujo dependiente del tiempo se denomina “flujo no permanente”.


Configuracion del medio continuo:
( ) - superficie que envuelve el volumen.
( ) - volumen
S - superficie que no envuelve el volumen.
C
t0 - configuración inicial o no deformada
C
t - configuración deformada
?t = t-t
0
Si empezamos el movimiento en un instante t
0 y el fin

Lineas de corriente:
En cualquier campo de vectores H = H(x1,x2,x3,t) se pueden definir unas líneas especiales que se llaman líneas vectoriales del campo H. Definicion: líneas vectoriales del campo H son aquellas que en cada punto del campo del vector H de campo en ese punto es tangente a la línea.
Si el campo es de velocidades a dichas líneas se las llama líneas de corriente o de flujo.
Gracias a las líneas de corriente, podemos representar gráficamente los flujos. Estas líneas se dibujan de manera que siempre sean tangentes a los vectores de velocidad de las partículas de fluido de un flujo. Las líneas de corriente que pasan por la periferia de un area infinitesimal en un tiempo “t” formaran un tubo, conocido como tubo de corriente, este actua como un conducto impermeable con paredes de espesor nulo y con sección transversal infinitesimal.
Una línea de corriente siempre verifica que dl es paralelo a v.
dx
1/v1 = dx2/v2 = dx3/v3 v = v(x1,x2,x3,t)

Flujo irrotacional:
Como el movimiento angular de elementos fluidos es una accion física que no depende de los sistemas coordenados ideados por el hombre, se ha concebido un operador vectorial, conocido como rotacional, el cual, cuando opera sobre un campo vectorial V, da como resultado el doble de la velocidad angular. Luego su ecuación será la siguiente:
w = ½(rot v) = ½ ã v. Sin aludir a un sistema coordenado especial.
Luego, el operador toma una forma particular cuando se expresa en un sistema coordenado particular. Por ejemplo, para coordenadas cartesianas:


La imagen física de rotación de un elemento esta restringida al rotacional del campo de velocidad.
· Flujo irrotacional: para los cuales w = 0, en todos los puntos del flujo, es decir, las partículas no rotan, no pierden energía.
· Flujo rotacional: aquellos que w ? 0, en algún punto del flujo sus partículas se desplazan y rotan.
Para que un flujo sea rotacional debe de cumplirse:


Relación entre flujo irrotacional y viscosidad:
El esfuerzo cortante en estos flujos y en flujos mas generales dependerá de la viscosidad del fluido y de la variación espacial de la velocidad (o del gradiente de velocidad) en la región.

Flujo unidimensional y bidimensional:
El flujo unidimensional es una simplificación en la cual todas las propiedades y características del flujo se suponen como funciones de una sola coordenada espacial y el tiempo. Usualmente, la posición es la localización a lo largo de alguna trayectoria o conducto. En realidad el flujo en tuberías y conductos nunca es verdaderamente unidimensional. Para que sean iguales:
· la variación de la sección transversal del recipiente no sea muy grande.
· la curvatura de las líneas de corriente no sea excesiva.
· se sabe que el perfil de velocidad no cambia de forma apreciable a lo largo del conducto.
Un flujo bidimensional se distingue por la condición de que todas sus propiedades y características del flujo son funciones de dos coordenadas cartesianas (x,y) y el tiempo; luego no cambia respecto a “z” en un instante dado. Todos los planos perpendiculares a “z” tendrán, en un instante dado, el mismo patrón de líneas de corriente.

Flujo laminar y turbulento:
Flujo laminar: patrón bien ordenado, donde se supone que las capas del fluido se deslizan unas sobre otras.
Mediante el experimento de Reinolds podemos ver la diferencia entre flujo laminar y turbulento. Re = (ñ vD)/ì
Reinolds encontró que el criterio para la transición de flujo laminar a flujo turbulento en una tubería es el numero de Reinolds, en el cual el parámetro de longitud es el diámetro de la tubería. En dicho experimento el numero se fue incrementando continuamente aumentando la velocidad. Sin embargo, esto podría haberse logrado al utilizar tuberías de diferentes diámetros o fluidos de diferentes viscosidades o densidades. Se ha encontrado que el numero de Reinolds es aproximadamente de 2300 y denota la inminencia de una transición de flujo laminar a turbulento.
Flujo turbulento: no permanente, debe considerarse como aquel en el cual el campo de velocidad media temporal cambia con el tiempo. Generalmente a partir de un Re=4000.

Flujo elemental:
De una propiedad îij…(x1,x2,x3,t) a través de la superficie “ds” es la propiedad îij…(x1,x2,x3,t) pro la (v·ds) con la condición de que îij…(x1,x2,x3,t) este expresado de forma especifica, es decir, medida por cada unidad de volumen.


Teoria de la aceleración de un flujo de medio continuo.
Al utilizar el campo de velocidades será necesario utilizar un punto de vista lagranjiano. Al notar que x,y,z son función del tiempo, puede establecerse el campo de aceleraciones empleando la regla de la cadena para la derivada en la siguiente forma:


Como x,y,z son las coordenadas de cualquier particula, es claro que dx/dt, dy/dt, dz/dt, deben ser las componentes escalares de la velocidad de cualquier particula y, por consiguiente, pueden denominarse, v
x, vy, vz, respectivamente, luego:



Las tres ecuaciones escalares que corresponden a la ecuación anterior en las tres direcciones de coordenadas cartesianas son:



La aceleración “a” de cualquier particula esta dada en función del campo de velocidad, de las derivadas espaciales parciales y de la derivada temporal parcial de V. Pero V es una función de x,y,z y t. Luego, la aceleración “a” esta dada en función de x,y,z y t y por consiguiente, también es una variable de campo.
La aceleración de la partículas de fluido en un campo de flujo puede suponerse como la composición de los efectos.
· En las expresiones del primer paréntesis, miembro derecho de las ecuaciones a) y b), la variable temporal explicita “t” se mantiene constante. En estas expresiones para determinado tiempo “t”, se supone que el campo se convierte en permanente y continua siéndolo.
En tales circunstancias, la particula esta en el proceso de cambiar de posición en este campo permanente, se experimenta un cambio en la velocidad. Esta tasa temporal de cambio de la velocidad debida al cambio en la posición en el campo se conoce apropiadamente como “aceleración de transporte” o “aceleración convectiva”.
· El termino del segundo paréntesis de las ecuaciones de aceleración, no se origina por el cambio de posición de las partículas, sino por la tasa de cambio de campo de velocidad en su mismo en el tiempo “t” en la posición ocupada por la particula. Algunas veces se conoce como aceleración local.