Teoremas del factor y ceros racionales

POLINOMIO:

Llamamos polinomio a toda expresión de la forma
P(x)=an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0     con an ≠0

donde n E N y an , an-1 , ... , a1 , a0 son coeficientes R y x se denom variable indep.
El polinomio cuyos coeficientes son todos ceros recibe el nombre de polinomio nulo.
Si an ≠0, decimos que el pol tiene grado n y an es el coeficiente principal. El coef a0 recibe el nombre de térm indep.
El polinomio nulo carece de grado.
REGLA DE RUFFINI: cuando P(x) se dividx el pol lineal de la forma(x-a). utilizams la regla de ruffini, p/ obtener el resto y el cocient d manera mas directa y sencilla

divisor Q(x)=(x+-a) --> gr Q(x)= 1 , a ≠ 0 y E R

TEOREMA DEL RESTO: El resto de dividir P(x) por un binomio de forma (x - c) es P(c).
P(c)=R

Demostración: por el algoritmo de la división:
P(x)= (x-c).C(x)+ R R=cte
P(c)=(c-c).C(x)+R
P(c)=R

FACTOR: decimos q Q(x) es un factor de P(x) sii el resto es 0 cuando se divide P(x) por Q(x).

TEOREMA DEL FACTOR: Un polinomio P(x) tiene un factor (x-c) si y solo sí P(c)=0

Demostración: Si (x-c) es un factor , existe C(x) tal que podemos escribir :

P(x)=(x-c).C(x)

P(x)=(c-c).C(c)

P(c)=0 

Si P(c) = 0 entonces (x-c) es un factor de P(x)

Por el teorema del resto, si P(c)=0 entonces el R=0. Por el algoritmo de la división:
P(x)= (x-c).Q(x)+R

P(c)=0.C(c)+R

P(c)= R pero como P(c)=0 --> R=0

CEROS DE UN POLINOMIO: Se dice que c es un Cero o Raiz del Polinomio P(x)? P(c) = 0

REGLA DE DESCARTES DE LOS SIGNOS:

Sea P(x) un polinomio con coeficientes reales y término constante distinto de cero )
1. El número de ceros positivos reales de P(x) es igual al número de variaciones de signo de P(x)cuando este está ordenado, o bien, es menor que ese número, en un número par.
2. El número de ceros reales negativos de P(x) es igual al número de variaciones de signo de P(-x),cuando P(-x)esta ordenado, o bien es menor que ese número, en un entero par.
TEOREMA DE LOS CEROS RACIONALES:

Si P(x)=an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0 es un polinomio de grado n, con coeficientes enteros y el término independiente no nulo entonces toda raíz o cero racional de P(x) es de la forma p/q , con p y q coprimos, donde p es divisor del término independiente (a0 ) y q es divisor del coeficiente principal (an).

Determinación de los ceros racionales de un polinomio
1. Liste todos los posibles ceros racionales utilizando el teorema de los ceros racionales.
2. Utilice el teorema del resto o bien la división sintética para evaluar el polinomio en cada uno de los posibles ceros racionales determinados en 1. Cuando el residuo sea 0, anote el cociente obtenido
3. Repita los pasos 1 y 2 para el cociente. Deténgase cuando llegue a un cociente que sea cuadrático y que se pueda factorizar con facilidad y utilice la fórmula cuadrática o factorice para encontrar los ceros restantes.

Multiplicidad de las raíces: SI (x-c)m es factor de P(x) y (x-c)m+1 no lo es , entonces c es una raíz de multiplicidad m repite m veces un factor (x - c) en la factorización, entonces c es un cero de multiplicidad m de P(x) o raíz de multiplicidad m
ECUACION RACIONAL:

Una ecuación es racional si y sólo sí la incógnita figura en el denominador