Tensor inercia

Enviado por Programa Chuletas y clasificado en Física

Escrito el 6 de Febrero de 2011 en español con un tamaño de 3,16 KB

L*e=I*wangular del
Para cualquier sólido ¿Es posible encontrar un eje de rotación para el cual se verifique que L=I*w? Es decir, el momento sólido L tenga la misma dirección que el eje de giro.
Consideremos un sólido que gira alrededor de un eje que pasa por su C.M.
Momento angular total: (r y w con la flechita arriba)
L=ELi=Erixpi=Erixmvi=Emri*vi (donde vi=wxri)=E[rix(wxri)]=rix(wxri)=w(ri*ri)-ri(ri*w)=ri^2w-(ri*w)*ri
Por tanto: L=Em[r^2*w-(r*w)*r]=Lxi+lyj+lzk
w=wxi+wyj+wzk/
ri=xi+yj+zk /Lx=Emi[ri^2*wx-(ri*w)*xi]=Emi[ri^2wx-x^2wx-xi*wy*yi-xi*wz*zi]=Emi[ri^2-xi^2]wx-Emixiwyyi-Exiwzzi
Llegamos al a expresión: Lx=Em(ri^2-xi^2)wx-Emixiyiwy-Exiziwz (momento de inercia-producto de inercia-producto de inercia)
mto inercia= Ixx=Emi(ri^2-xi^2)
producto inercia= Ixy=Emixiyi
producto de inercia= Ixz=Emixizi
Lx=Ixx*Wx+Ixy*Wy+Ixz*Wz (igual para Ly y Lz)
Otra forma de calcular L:
L=[Lx,LyLz]=[Ixx Ixy Ixz;Iyx Iyy Iyz;Izx Izy Izz]*[Wx;Wy;Wz]; L=tensor de inercia*w
Ixy y Iyx son simétricos, por tanto J(tensor de inercia) es simétrico menos la diagonal principal.
Puede demostrarse que para cualquier sólido por irregular que sea tiene 3 direcciones ortogonales que se llaman direcciones principales.Si se adopta como sist. De referencia el que forman las direcciones principales y se hace coincidir el origen con el CM, entonces el tensor de inercia se diagonaliza, es decir, se anulan los productos de inercia y solo permanecen los momentos principales de inercia, con lo cual solo queda:
(Lx;Ly;Lz)=[Ixx 0 0;0 Iyy 0;0 0 Izz]*[Wx;Wy;Wz]=[IxxWx;IyyWy;IzzWz]
Pero aún no se ha conseguido que L=I*w
L=WxIxxi+WyIyyJ+WzIzzk Buscamos que L tenga la misma dirección que el eje de giro, w.
L=I*w y lo anterior no es L=I*w.
Como ya se ha dicho antes, para todo sólido existen tres direcciones ortogonales para las cuales el tensor de inercia se diagonaliza, designamos por [e1,e2,e3] los vectores unitarios que definen las direcciones o ejes principales.
Si añadimos como origen de referencia el CM tendremos el origen y 3 direcciones principales. Si un sólido tiene un eje de simetría,este eje, es un eje principal.Ejemplo:
(Dibujo) Para que L=WI bastacon que el eje de giro sea un eje principal, si es e3:
(dibujo)w=0*e+0*e2+Wze3;w=wz*e3;wx=wy=0.
Por tanto: L=wz*Izzk=Izz*wze3=Izz*wz.

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