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1 Circunferencias tangentes a una recta r que pasen por puntos P y Q
Todas las circunferencias que pasan por P y Q tunen su centro en la mediatriz del segmento que determinan y como eje radical PQ. El eje radical de una circunferencia y una recta es la propia recta. El punto de intersección entre las rectas PQ y r, es el centro radical, Cr, de las circunferencias que pasan por los puntos P y Q, entre las que se hallan las soluciones que se buscan. Trazamos una circunferencia auxiliar de centro O en la mediatriz y que pase por los puntos P y Q. Desde Cr trazamos la tangente a Cr-T a la circunferencia auxiliar. Este segmento, Cr-T, es la longitud de las tangentes trazadas desde Cr a todas las circunferencias del haz, con centro en Cr y radio Cr-T trazamos una semicircunferencia que corta a la recta r en los puntos T1 y T2 que son los puntos de tangencia a la recta r. Trazamos las perpendiculares a r por os puntos T1 y T2, obteniendo en la mediatriz los centros O1 y O2, de las circunferencias solución.

2 Circunferencias que pasen por un punto P y son tangentes a dos rectas r y s que se cortan. Trazamos la bisectriz del ángulo que forman las rectas r y s. Trazamos por P la perpendicular a la bisectriz y obtenemos el simetrico de P. Con estas operaciones el problema se convierte en el del caso anterior (1)

3 Trazar las circunferencias tangentes a dos rectas r1 y s1 que se cortan y a una circunferencia interior a ellas de centro P
Calculando el punto Q, simétrico de P respecto de la bisectriz común de los ángulos que forman las rectas r1 y s1 y las r y s se trata ahora de trazar las circunferencias tangentes a la recta r y que pasan por los puntos P y Q. Se determina el centro radical Cr, del haz de circunferencias que pasan por P y Q y de la recta r. Con la circunferencia auxiliar de centro E, que pasa por los puntos P y Q, se calcula raiz de k. Por los puntos T3 y T4 de r que distan raiz de k de Cr, se trazan las perpendiculares a esta recta que cortan a la bisectriz en los puntos O3 y O4. Las circunferencias con centros en estos puntos y que pasan por P y Q son tangentes a las rectas r y s. Los radios de las circunferencias solucion de centros en O3 y O4 resultan de restales a los de las anteriores la magnitud R de la dilatación.

4 Trazar las circunferencas tangentes a otra de centro c y que pasan por dos puntos P y Q. Trazamos la circnferencia auziliar de centro E qu pasa por los puntos P y Q y corta a la dada de centro C en los puntos A y B. El punto Cr, donde se cortan a las rectas PQ y AB es el centro radical de las circunferencias del haz que pasan por P y Q y la dada de centro C. En consecuencia la potencia del punto Cr respecto de todas ellas es la misma y la longitud del segmento RAIZ de K tambien. Las rectas tangentes desde Cr a la circunferencia dada tienen como puntos de tangencia T1 y T2, luego estos son los puntos comunes de las circunferencias solucion con la dada. Los centros de las cosluciones O1 y O2 se hallan respectivamente, donde las rectas T1C y T2C cortan a la mediatriz del segmento PQ

5 Trazar las circunferencias tangentes a otra de centro C y a una recta r conociendo el punto de tangencia Tc en aquella.
El centro radical de este haz de circunferencias y la recta r, es Cr, punto de interseccion de las rectas e y r. El segmento RAIZ de K, raiz cuadrada de la potencia de C, respecto de todas las circunferencias del haz es igual a Cr-Tc. Por tanto llevando sobre la recta r el segmento RAIZ de K a ambos lados de Cr, se obtienen los puntos de tangencia T1 y T2 de r con las circunferencias solucion. Trazando las perpendiculares a r por los puntos T1 y T2 se obtienen, en su interseccion con la recta CTc, los centros O1 y O2 de las soluciones.

Trazar las circunferencias tangentes a otra de centro C y a una recta r conociendo el punto Tr en esta

El centro radical de las circunferencias del haz de la dada de centro C y de la reca r, es Cr punto de interseccion del eje radical e con la recta r. Llevando sobre la circunferencia dada de centro C, desde Cr, la distancia CrTr= Raiz de K, se obtienen los puntos de tangencia T1 y T2 de las soluciones con la circunferencia dada. Los centros O1 y O2 de las soluciones se obtienen en la interseccion de CT1 y CT2 con la perpendicular Tr a la recta r

Trazar las circunferencias tangentes a otras dos de centros O1 y O2 conociendo el punto de tangencia T en una de ellas.

Trazamos una circunferencia auxiliar que sea tangente en el punto T a la circunferencia de centro O1 y secante a la otra circunferencia. De esta manera obtenemos dos ejes radicales el Er1 que es tangente a O1 por el punto T y el Er2 determinado por los puntos de interseccion de la cicunferencia auxiliar y la de centro O2.

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