Producto vectorial

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Definición 

Sean dos vectores a y b en el espacio vectorial ?3. El producto vectorial entre a y b, como se mencionó antes, da como resultado un nuevo vector, al que llamaremos c. Para definir este nuevo vector es necesario especificar su módulo, dirección y sentido:

  • El módulo de c está dado por
\\\\\\\\left \\\\\\\\Vert \\\\\\\\mathbf{c} \\\\\\\\right \\\\\\\\Vert = \\\\\\\\left \\\\\\\\Vert \\\\\\\\mathbf{a} \\\\\\\\right \\\\\\\\Vert \\\\\\\\left \\\\\\\\Vert \\\\\\\\mathbf{b} \\\\\\\\right \\\\\\\\Vert \\\\\\\\sin{\\\\\\\\theta}
 

donde ? es el ángulo entre a y b.

  • La dirección de c es tal que c es ortogonal a a y ortogonal a b.
  • El sentido en el que apunta el vector c está dado por la regla del sacacorchos.

El producto vectorial entre a y b se denota mediante a × b, por ello se lo llama también producto cruz. Para evitar confusiones con la letra x, algun

 

os autores denotan el producto vectorial mediante a ? b cuando escriben a mano.

El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente manera:

\\\\\\\\mathbf{a} \\\\\\\\times \\\\\\\\mathbf{b} = \\\\\\\\hat n \\\\\\\\left \\\\\\\\Vert \\\\\\\\mathbf{a} \\\\\\\\right \\\\\\\\Vert \\\\\\\\left \\\\\\\\Vert \\\\\\\\mathbf{b} \\\\\\\\right \\\\\\\\Vert \\\\\\\\sin{\\\\\\\\theta}

donde \\\\\\\\hat n es e

 

l versor ortogonal a los vectores a y b y su sentido está dado por la regla del sacacorchos y ? es, como antes, el ángulo entre a y b. A la regla del sacacorchos se la llama a menudo también regla de la mano derecha.


Relaciones entre los vectores definidos en esta sección.

Ejemplo

Sean los vectores:

\\\\\\\\vec a = (2,0,1)

y

\\\\\\\\vec b = (1,-1,3)

El producto vectorial entre a y b se calcula como:

\\\\\\\\vec a \\\\\\\\times \\\\\\\\vec b = \\\\\\\\begin{pmatrix}  \\\\\\\\hat \\\\\\\\imath & \\\\\\\\hat \\\\\\\\jmath & \\\\\\\\hat k \\\\\\\\\\\\\\\\  2 & 0 & 1 \\\\\\\\\\\\\\\\  1 & -1 & 3 \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\end{pmatrix}

Expandiendo el determinante:

\\\\\\\\vec a \\\\\\\\times \\\\\\\\vec b =\\\\\\\\hat \\\\\\\\imath \\\\\\\\begin{pmatrix}  0 & 1 \\\\\\\\\\\\\\\\  -1 & 3 \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\end{pmatrix} +(-1) \\\\\\\\hat \\\\\\\\jmath \\\\\\\\begin{pmatrix}  2 & 1 \\\\\\\\\\\\\\\\  1 & 3 \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\end{pmatrix} +\\\\\\\\hat k \\\\\\\\begin{pmatrix}  2 & 0 \\\\\\\\\\\\\\\\  1 & -1 \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\end{pmatrix} =\\\\\\\\left ( 0 \\\\\\\\cdot 3 - 1 \\\\\\\\cdot (-1) \\\\\\\\right )\\\\\\\\hat \\\\\\\\imath +(-1) \\\\\\\\left ( 2 \\\\\\\\cdot 3 - 1 \\\\\\\\cdot 1 \\\\\\\\right )\\\\\\\\hat \\\\\\\\jmath +\\\\\\\\left ( 2 \\\\\\\\cdot (-1) - 0 \\\\\\\\cdot 1 \\\\\\\\right )\\\\\\\\hat k =\\\\\\\\hat \\\\\\\\imath - 5 \\\\\\\\hat \\\\\\\\jmath - 2 \\\\\\\\hat k

Por lo tanto

\\\\\\\\vec a \\\\\\\\times \\\\\\\\vec b = (1,-5,-2)

Puede verificarse fácilmente que a × b es ortogonal al vector a y al vector b utilizando el producto escalar y verificando que éste da cero como resultado (condición de perpendicularidad de vectores).

Propiedades 

Cualesquiera que sean los vectores \\\\\\\\vec a, \\\\\\\\vec b y \\\\\\\\vec c en \\\\\\\\mathbb{R}^3:

  1. \\\\\\\\vec a \\\\\\\\times \\\\\\\\vec b = - \\\\\\\\vec b \\\\\\\\times \\\\\\\\vec a, (anticonmutatividad)
  2. \\\\\\\\langle \\\\\\\\vec a , (\\\\\\\\vec a \\\\\\\\times \\\\\\\\vec b) \\\\\\\\rangle = \\\\\\\\langle \\\\\\\\vec b , (\\\\\\\\vec a \\\\\\\\times \\\\\\\\vec b) \\\\\\\\rangle = 0 (el producto vectorial es perpendicular a cualquiera de los factores),
  3. Si \\\\\\\\vec a \\\\\\\\neq \\\\\\\\vec 0 y \\\\\\\\vec b \\\\\\\\neq \\\\\\\\vec 0 entonces \\\\\\\\vec a \\\\\\\\times \\\\\\\\vec b = \\\\\\\\vec 0 \\\\\\\\Longleftrightarrow \\\\\\\\vec a || \\\\\\\\vec b (el producto cruz de dos vectores paralelos es cero).
  4. ( \\\\\\\\vec a + \\\\\\\\vec b ) \\\\\\\\times \\\\\\\\vec c = \\\\\\\\vec a \\\\\\\\times \\\\\\\\vec c + \\\\\\\\vec b \\\\\\\\times \\\\\\\\vec c,
  5. \\\\\\\\vec a \\\\\\\\times ( \\\\\\\\vec b \\\\\\\\times \\\\\\\\vec c ) = \\\\\\\\langle \\\\\\\\vec a , \\\\\\\\vec c \\\\\\\\rangle \\\\\\\\vec b - \\\\\\\\langle \\\\\\\\vec a , \\\\\\\\vec b \\\\\\\\rangle \\\\\\\\vec c