Media aritmetica
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La media aritmética:Consideremos una distribución ( x i ; n i )(la variable toma los valores x i que se repiten
con una frecuencia n i ) Se define la media aritmética como la suma de todos los valores de la distribución
dividida por el número total de datos.
La denotaremos por x y se obtendrá de la siguiente forma: Donde N es el número total de datos.
En el caso de distribuciones agrupadas en intervalos tomaremos como x i
las marcas de clase (punto medio del intervalo).
Propiedades de la media aritmética:
La media aritmética es una media ponderada, en el sentido de que tiene en cuenta
los pesos (numero de veces que se repite= frecuencia absoluta) de cada valor de la variable.
Propiedad 1: La suma de las desviaciones de los valores de la variable respecto de su media aritmética es cero.
Propiedad 2 (teorema de König): la suma de las desviaciones al cuadrado de los
valores de la variable respecto de una constante c (c? R) cualquiera se hace mínima cuando
Demostración 1:
Demostración 2:
Tenemos que demostrar cuando se hace mínima la suma
si la variable es “c”. Cualquier función alcanza sus valores extremos (máximos o mínimos) cuando su primera derivada (respecto de la variable, en este caso “c”) se anula, es decir cuando:
Para comprobar si es un mínimo hay que comprobar que la segunda derivada es mayor que 0:
con una frecuencia n i ) Se define la media aritmética como la suma de todos los valores de la distribución
dividida por el número total de datos.
La denotaremos por x y se obtendrá de la siguiente forma: Donde N es el número total de datos.
En el caso de distribuciones agrupadas en intervalos tomaremos como x i
las marcas de clase (punto medio del intervalo).
Propiedades de la media aritmética:
La media aritmética es una media ponderada, en el sentido de que tiene en cuenta
los pesos (numero de veces que se repite= frecuencia absoluta) de cada valor de la variable.
Propiedad 1: La suma de las desviaciones de los valores de la variable respecto de su media aritmética es cero.
Propiedad 2 (teorema de König): la suma de las desviaciones al cuadrado de los
valores de la variable respecto de una constante c (c? R) cualquiera se hace mínima cuando
Demostración 1:
Demostración 2:
Tenemos que demostrar cuando se hace mínima la suma
si la variable es “c”. Cualquier función alcanza sus valores extremos (máximos o mínimos) cuando su primera derivada (respecto de la variable, en este caso “c”) se anula, es decir cuando:
Para comprobar si es un mínimo hay que comprobar que la segunda derivada es mayor que 0: