Mecanica de fluidos

Estudio general de la aceleración en un flujo:

Al utilizar el campo de velocidad será necesario utilizar el punto de vista lagrangiano. Al notar que x,y,z son funciones de tiempo, puede establecerse el campo de aceleraciones empleando la regla de la cadena para la derivada en la siguiente forma:

a=d·v(x,y,z,t)/dt = (dv/dx dx/dt + dv/dy dy/dt + dv/dz dz/dt) + (dv/dt)

Como x,y,z son las coordenadas de cualquier partícula, es claro que dx/dt, dy/t, dz/dt deben ser las componentes escalares de la velocidad de cualquier partícula y, por consiguiente, pueden denominarse vx,vy,vz respectivamente. Luego:

a) a= (Vx dv/dx+ Vy dv/dy + Vz dv/dz) + (dv/dt)

Las tres ecuaciones escalares que corresponden a la ecuación anterior en las tres direcciones de coordenadas cartesianas son:

b) ax: (Vx dvx/dx + Vy  dvx/dy + Vz dvx/dz) + (dvx/dt)

     ay & az “” “”

La aceleración a de cualquier partícula está dada en función del campo de velocidad, de las derivadas espaciales parciales y de la derivada temporal parcial de V. Pero V es una función de x,y,z y t. Luego, la aceleración está dada en función de x,y,z t y por consiguiente, también es una variable de campo.

La aceleración de las partículas de fluido en un campo de flujo puede suponerse como la superposición de dos efectos:

1- En las expresiones del primer paréntesis miembro derecho de las ecuaciones a y b, la variable temporal explícita t se mantiene constante. En  estas expresiones para determinado tiempo t, se supone que el campo se convierte en permanente y continua siéndolo. En tales circunstancias, la partícula está en el proceso de cambiar de posición en este campo permanente, lo que experimenta un cambio en la velocidad debido a que la velocidad en diferentes posiciones de este campo será en general, diferente en cualquier tiempo t. Esta tasa temporal se conoce apropiadamente como “aceleración de transporte ó aceleración convectiva”

2- El término del segundo paréntesis de las ecuaciones de aceleración no se origina por el cambio de posición de las partículas,sino por la tasa de cambio del campo de velocidad en sí mismo en el tiempo t, en el aposición ocupada por la partícula. Algunas veces se conoce como “aceleración local”.

TUBERÍAS CON SERVICIO EN RUTA

Tubería con servicio alimentada por un extremo:

Supongamos la tubería 1-2, que suministra agua a lo largo de su recorrido, aparte de transportar un caudal Q2 al nudo 2. Aunque el reparto no será uniforme, parece lógico que así se considere a efectos de cálculo: El caudal Q a repartir se divide por la longitud L y así se obtiene el caudal unitario q:

q= Q/L= Q1-Q2/L

Con esta hipótesis, el caudal, que pasó por la sección M puede darse por la expresión: QM= Q2+qx

La pérdida de carga en el recorrido infinitesimal dx es:

dHr= β dx  (Q2+q·x)² / D⁵

Integrando entre 0 y 1 considerando el valor medio (β') de  β obtenemos la pérdida de carga total:

Hr= β'·L/D⁵   ∫ (Q2+q·x) dx= β'/D⁵  (Q2²·L+ q³·L³/3+Q2·q·L²);

Hr= β'·L/D⁵  (Q2²+ q²L²/3 + Q2·q·L)=  β'·L· Q'²/ D⁵

El caudal Q' representa el caudal equivalente que originaría en la tubería 1-2 la misma pérdida de carga que el caudal variable del problema, y β' es el coeficiente de fricción correspondiente, si determinamos pues Q'. la cuestión queda reducida al de una conducción simple, es decir, que podemos calcular fácilmente el diámetro si conocemos la pérdida de carga.

La expresión que permite calcular el caudal equivalente Q' puede obtenerse de la anterior ecuación

Q'= √  Q2²+ q²L²/3 + Q2·q·L

En caso particular que Q2=0, las ecuaciones anteriores adoptan la forma (Q=q·L)

Hr= 1/3·β'·L· Q²/ D^{5 =} β'·L· Q'²/ D⁵  y Q'=Q/√3

Es decir, que la pérdida de carga que origina el caudal Q repartido total y uniformemente a lo largo del recorrido, es la tercera parte de la que originaría dicho caudal si llegara íntegro harta el final. Además, la LP de la figura sería horizontal.

Al final, pues al no quedar caudal la pérdida de carga en 2 es nula (J2=0). Normalmente se usa más la siguiente ecuación:

Q'= Q2+0'55·q·L

Que da valores bastante próximos. En efecto:

(Q2+q·L/2)²= Q2²+q²·L²/4+Q2·q·L   Q2²+q²·L²/3+Q2·q·L= Q'²

(Q2+ q·L/√3)²=  Q2²+q²·L²/3+ 2/√3·Q2·q·L >  Q2²+q²·L²/3+Q2·q·L= Q'²

Q2+ q·L/2 Q2+0'57·q·L

Q'≈Q2+0'55·q·L

Tubería con servicio alimentada por los dos extremos:

Supongamos ahora que la tubería con servició está alimentada por los dos extremos; el caudal Q1 alimentaría un tramo L1 y el caudal Q2 el resto L2. Si el caudal unitario q es el mismo en ambos tramos 1 y 2, su valor sería: q= Q1+Q2/2

Con lo que se determinan las longitudes L1 y L2:

L1= Q1/q ; L2=Q2/q

Las líneas piezométricas A0' y B0' son tangentes en 0' puesto que el audal en la sección 0 es nula por definición (J=0); además, sería simétricas respecto de 00', si el caudal unitario q fuera igual en todos los tramos. Utilizamos los caudales equivalentes:

Q1'= Q1/√3 ; Q2'=Q2/√3

Las pérdidas de carga en los tramos 1 y 2, suponiendo el mismo diámetro D para los dos serían:

Hr1= β'·L1  Q1'²/ D^{5  ;}  Hr2= β'·L2  Q2'²/ D⁵

²                    ³                         β                    √                       ≈               ∫                             ⁵

Ley de viscosidad de newton:

Una propiedad muy importante se introducirá como consecuencia de lo que hay de viscosidad de Newton. Para un flujo bien ordenado en el que las partículas de fluido se mueven en líneas rectas y paralelas, la ley establece que para ciertos fluidos conocidos como fluidos newtonianos, el esfuerzo cortante sobre una interfaz tangente a la dirección de flujo es proporcional a la tasa de cambio de la velocidad respecto a la distancia, donde la diferenciación se toma en una dirección normal a la interfaz. Matemáticamente se establece como:

τ·α· dv/dn

Se escoge un área infinitesimal en el flujo que sea paralela al eje de velocidad horizontal, como se muestra. Se dibuja la normal n a ésta área y se grafican las velocidades del fluido en puntos a lo largo de la normal formando de esta manera un perfil de velocidad. La pendiente del perfil hacia el eje n en la posición correspondiente al elemento del área es el valor dv/dn, el cual se relaciona, tal como se planteó anteriormente, con el esfuerzo constante τ presente en la interfaz.

Al insertar el coeficiente de proporcionalidad en la ley de viscosidad de Newton se llega al resultado:

τ=μ dv/dn

donde μ se conoce como coeficiente de viscosidad, el cual tiene como dimensiones (F/L²)T ó M/LT. En el sistema de unidades cgs, la unidad de viscosidad es el poise, que corresponde a 1g/cm·s. El centipoise es 1/100 de un poise como se deduce utilizando las unidades básicas. La viscosidad no depende  en gran medida de la presión, se observa que la viscosidad de un líquido disminye con un aumento en la temperatura, mientras que en un gas ocurre completamente lo contrario. La explicación de estas tendencias es la siguiente:

En un líquido las moléculas tiene una movilidad limitada con fuerzas cohesivas grandes presentes entre las moléculas. Es se manifiesta en la propiedad del fluido que se ha llamado viscosidad. Un aumento en la temperatura disminuye la cohesión entre las moléculas y existe un decrecimiento en la “pegajosidad” del fluido, es decir, su descenso en la viscosidad. En un gas las moléculas tiene una gran movilidad y generalmente están apartadas, pues, en contraste con un líquido existe poca cohesión entre ellas. Sin embargo, las moléculas interactúan chocando unas con otras durante sus movimientos rápidos. La propiedad de viscosidad resulta de estos choques.

En resumen, la viscosidad de un líquido ocurre por la cohesión de moléculas. Esta cohesión y, por tanto, la viscosidad disminuyen cuando la temperatura aumenta. Por otra parte, la viscosidad de un gas es el resulta del movimiento aleatorio de las moléculas. Este movimiento aleatorio aumenta con la temperatura. Nuevamente se nota que la presión tiene sólo un efecto pequeño sobre la viscosidad y, por lo genere, éste no se toma en cuenta. La variación de la viscosidad de los gases con la temperatura puede aproximarse por alguna de las dos leyes conocidas, respectivamente, como la de Sutherland y la ley de potencia, como sigue:

μ= μ0(T/T0) ^3/2 (T0+S)/T+S                      Ley de Sutherland

μ= μ0(T/T0)ⁿ                                                                                Ley de Potencia

Donde  μ0 es una viscosidad conocida a una temperatura absoluta T0 y donde S y n son constantes determinadas mediante el ajuste de una curva.

Para determinar la viscosidad de los líquidos, se utiliza la siguiente fórmula simple:

μ=A·e^-BT

Comportamiento viscoso:

Solo se da los fluidos. Las tensiones siempre son fuerzas partido la superficie sobre la cuela la he aplicado (N/m2)

tc= Fc/s → Tensión cortante

Como es un sólido elástico cuando retiramos la Fuerza cortante el sólido vuelve a su forma natural.

Si se aumenta la tensión cortante, el ángulo también aumenta. Con esto podemos decir que las tensiones y las deformaciones son proporcionales (Ley de Hooke)

tc es proporcional a θ Ley de Hooke ( en forma cualitativa)

Para obtener la forma cualitativa necesitamos una igualdad.

Introducimos k → tc= kθ  k es diferente para cada material. Es una constante de proporcionalidad.