Mecanica de fluidos
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Flujo solenoidal: se define de forma matemática. El vector de velocidad en cada punto es el vector rotacional, cambiando el signo de otro campo vetorial w.
v(x1,x2,x3,t)
V= -RotxW w(x1,x2,x3,t) nota rotH= ▼H
En un flujo solenoidal se ha de cumplir que en cada punto tiene que haber definidos dos campos vectoriales : campo de velocidades y campo w.
Es decir, tienen que coexistir a la vez en la misma región del espacio.
Cuando haya un campo cuyo rotacional sea la velocidad cambiando el signo el flujo es solenoidal.
v=-Rotw.
El campo de vectores w, si existe se llama potencial de la velocidad.
V se dice que deriva de w (se obtiene derivandola)
Propiedades: vamos a tomar divergencias en los dos miembros de la ecuación, es decir, aplicamos el operador nabla en los dos miembros:
▼v=▼(-rotw) –› ▼v=-▼(▼w)
Esto es un producto mixto (se ponen los tres en una matri y se calcula el determinante) pero si es 0 porque hay dos flias iguales.
▼v=▼(-▼w)=0 div v=0
1- El flujo solenoidal tiene divergencia nula, ▼v=0, lo que quiere decir que no hay fuentes ni sumideros de lineas de campo. Aplicando que la divergencia es nula en la ecuación de continuidad tenemos:
dp/dt+p▼v=0-> ▼v=0-> dp/dt=0; p la constante de tiempo.
2- La diversidad del fluido es independiente del tiempo, es decir, que se mantienen constante en cada punto. La densidad es estacionaria. Si el flujo es solenoidal en una tubería el caudal que entra es igual al que sale.
Flujo potencial: es aquel flujo que cumple que el campo de velocidades es igual a menos el gradiente de un potencial escalar.
φ es función escalar
V=-▼p v es campo de velocidades
Se dice que el campo escalar φ es de potencial de la velocidad. El campo de velocidades deriva del campo escalar.
Propiedades:
Aplicamos rotacional a ambos lados
▼v=▼(-▼p)=0
El rotacional de un gradiente es nulo ▼v=0
1- El flujo potencial es un flujo inotacional.
0=▼v=2Ώ
Ώ=0 no tiene velocidad de rotación.
2- dado que en el fluido no aparecen rotaciones, si hay partículas que se desplazan con distintas velocidades no aparecen tensiones de cortadura, porque esto provocaría la rotación de las partículas por lo tanto en un fluido institucional no hay rozamiento entre las distintas partículas ( no hay perdidas de energía) el flujo es conservativo.
Flujo rotacional: el vectorial rotacional (Ώ) es distinto de cero y por lo tanto las partículas al desplazarse rotan y por ellos tendrán “spin” (giran sobre sí mismo)
Ώ= 172rotv v=1/2(▼v)≠0; Ώ=1/2(▼v)= -▼((-1/2)v)
El campo es solenoidal cuando Ώ=0.
Lineas de corriente: una linea de corriente es aquella línea que en un instante dado es tangente al vector velocidad en todo punto.
El fluido contenido en el interior del tubo de corriente está confinado, ya que no puede atravesar las líneas de corriente; las paredes del tuvo de corriente pueden ser, pues, tanto superficies sólidad como fluidas.
Las líneas de corriente se calculan a partir del campo de velocidades por medio de las relaciones geométricas siguientes:
Dado que la velocidad v debe ser localmente tangente al elemento de línera dr, tendremos:
dx/u=dy/v=dz/w=dr/v
Si las componentes u, v, w son funciones conocidas de la posición y del tiempo, las ecuaciones pueden ser integradas, obteniéndose así la línea de corriente que en un cierto instante t0 pasa por el punto (x0,y0,z0). La integración puede resultar laboriosa. Una idea útil es introducir el parámetro ds en las ecuaciones. Así:
dx/ds=u, dy/ds=v, dz/ds=w
Integrando las ecuaciones respecto a s con las condiciones adecuadas (x0,y0,z0) manteniendo el tiempo constante y eliminando posteriormente s se obtiene la expresión deseada, esto es, la línea de corriente.