Derivadas, funciones, continuidad

FUNCIONES, LIMITES Y CONTINUIDAD

Una función es continua en el punto x=a (a pertenece a su dominio de definición) si verifica:
1.- Lim _x→a- f(x) = Lim _x→a+ f(x) = Lim _x→a f(x)
2.- f(a) ε R
3.- Lim _x→a f(x) = f(a)
Si no se verifica la 1ª condición, se dice que f(x) presenta una discontinuidad inevitable en x=a
Si no se verifica la 3ª condición, se dice que f(x) presenta una discontinuidad evitable en x=a

Sólo se puede estudiar la continuidad de una función en aquellos puntos que pertenecen al dominio. Por abuso de lenguaje se estudia la discontinuidad de los puntos que no pertenecen al dominio.

DERIVADAS

Una función f(x) es derivable en el punto x=a si:
1.- La función es continua en x=a
2.- f’(a-) = f’(a+) = f’(a)

Una función que no es continua en un punto, no puede ser derivable en dicho punto. Donde la función no es continua, no podemos estudiar la derivabilidad.
Que una función sea continua en un punto no quiere decir que vaya a ser derivable en él.

Estudio de derivabilidad en func a trozos:

1º Vemos si f(x) es continua en x

2º Calculamos f'(x-) y f'(x+) si son iguales es derivable

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Máximos y mínimos

Regla de L`Hôpital