Derivadas Formulas trigonometricas

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Derivada de la función seno

A partir de la definición de la derivada de una función f(x):

f'(x)=\\\\lim_{h\\\\to 0}{f(x+h)-f(x)\\\\over h}

Por tanto si f(x) = sin(x)

f'(x)=\\\\lim_{h\\\\to 0}{\\\\sin(x+h)-\\\\sin(x)\\\\over h}

A partir de la identidad trigonométrica sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B), se puede escribir

f'(x)=\\\\lim_{h\\\\to 0}{\\\\sin(x)\\\\cos(h)+\\\\cos(x)\\\\sin(h)-\\\\sin(x)\\\\over h}

Agrupando los términos cos(x) y sin(x), la derivada pasa a ser

f'(x)=\\\\lim_{h\\\\to 0}{\\\\cos(x)\\\\sin(h)-\\\\sin(x)(1-\\\\cos(h))\\\\over h}

Reordenando los términos y el límite se obtiene

f'(x)=\\\\lim_{h\\\\to 0}{\\\\cos(x)\\\\sin(h)\\\\over h} - \\\\lim_{h\\\\to 0}{\\\\sin(x)(1-\\\\cos(h))\\\\over h}

Ahora, como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener

f'(x)=cos(x)\\\\lim_{h\\\\to 0}{\\\\sin(h)\\\\over h} - \\\\sin(x)\\\\lim_{h\\\\to 0}{(1-\\\\cos(h))\\\\over h}

El valor de los límites

\\\\lim_{h\\\\to 0}{\\\\sin(h)\\\\over h} \\\\quad\\\\text{y}\\\\quad \\\\lim_{h\\\\to 0}{(1-\\\\cos(h))\\\\over h}

Son 1 y 0 respectivamente. Por tanto, si f(x) = sin(x),

f'(x)=\\\\cos(x) \\\\,

Derivada de la función coseno

Si f(x) = cos(x)

f'(x)=\\\\lim_{h\\\\to 0}{\\\\cos(x+h)-\\\\cos(x)\\\\over h}

A partir de la identidad trigonométrica cos(A + B) = cos(A)cos(B) ? sin(A)sin(B), se puede escribir

f'(x)=\\\\lim_{h\\\\to 0}{\\\\cos(x)\\\\cos(h)-\\\\sin(x)\\\\sin(h)-\\\\cos(x)\\\\over h}

Operando se obtiene

f'(x)=\\\\lim_{h\\\\to 0}{\\\\cos(x)(\\\\cos(h)-1)-\\\\sin(x)\\\\sin(h))\\\\over h}

Como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener

f'(x)=cos(x)\\\\lim_{h\\\\to 0}{\\\\cos(h)-1\\\\over h} - \\\\sin(x)\\\\lim_{h\\\\to 0}{\\\\sin(h)\\\\over h}

El valor de los límites

\\\\lim_{h\\\\to 0}{\\\\sin(h)\\\\over h} \\\\quad\\\\text{y}\\\\quad \\\\lim_{h\\\\to 0}{(\\\\cos(h)-1)\\\\over h}

Son 1 y 0 respectivamente. Por tanto, si f(x) = cos(x),

f'(x)=-\\\\sin(x) \\\\,