Calculo 2

Teorema de Schwartz Si (d²f)/dydx es continua en un punto (x; y) y si df/dy existe en un entorno de (x; y), entonces existe ((d²f)/dxdy )(x, y) = (d²f)/dydx (x,Y)//En el ejemplo 64, como ni la función f(x, y)=2x sen(x²+y²)ni sus posibles derivadas parciales tienen ningún problema de continuidad, sus derivadas parciales cruzadas tienen que coincidir, como así ocurre.//Todo lo anterior puede generalizarse a funciones de n variables. Así, por ejemplo, una función f(x1, x2,...,xn) tiene n derivadas parciales en cada punto (x1, x2,...,xn)€ Rⁿ,que denotamos por//Dkf(x1, x2,...., xn) o por df/ dxk (x1,x2,...,xn),i,j= 1,2,....,n //y tiene n²derivadas parciales de segundo orden, que denotamos por Dij f(x1,x2,...,xn) o por (d²f)/dxjdxi (x1,x2,...,xn); i,j= 1, 2,...,n//El Teorema de Schwartz nos asegura que, bajo ciertas condiciones de continuidad, las derivadas cruzadas coinciden://Dijf(x1,x2,...,xn)=Djif(x1,x2,...,xn)//(d²f)/dxjdxi (x1,x2,...,xn)=(d²f)/dxidxj (x1,x2,...,xn)// Teorema(Aplicación de la regla de la cadena) Sea f : A  R²-->R diferenciable en (x0; y0) punto interior de A y sea v=(v1; v2)€R²un vector unitario. Entonces, la derivada direccional Dvf(x0; y0) puede calcularse como//Dvf(x0; y0) = D1f(x0; y0)v1 + D2f(x0; y0)v2 = (Vf(x0, y0)/v)// Dem: Por definición de derivada direcccional,// Dvf(x0; y0) = limh->0(f(x0 + hv1, y0 + hv2) - f(x0, y0))/h //Observemos que f(x0 + hv1,y0 + hv2) puede considerarse como la composición de f(x; y) con la función  (h) = (x0 + hv1, y0 + hv2), luego si llamamos g(h) = f(x0 + hv1, y0 + hv2) entonces//Dvf(x0; y0) = lim h->0 (g(h) - g(0))/h //Por la regla de la cadena, la derivada de g es g´(h) = D1f(x0 + hv1, y0 + hv2)v1 + D2f(x0 + hv1; y0 + hv2)v2//y, tomando h = 0, g´(0) = Dvf(x0,y0) = D1f(x0; y0)v1 + D2f(x0; y0)v2.Teorema (de Taylor) Sea f : A   R->R² una función con derivadas parciales hasta segundo orden continuas en A. Sean (x0, y0),(x, y) puntos de A. Entonces, existe un entre α x0 y x y un β entre y0 e y tales que//f(x; y) = f(x0; y0) + D1f(x0; y0)(x x0) + D2f(x0; y0)(y y0)+ 1/2(D11f( α,β )(x -x0)²+ 2D12f(α,β)(x-x0)(y-y0) + D22f(α,β)(y-y0)²)Dem: Sea  : [0; 1]  R->R²  (t) =(x0 + th, y0 + tk) la parametrización del segmento en R²que une los puntos (x0, y0) y (x0+h, y0+ k). Consideremos la función compuesta g : [0, 1]  R- R, g(t) = f(  (t)). Como g es una función de una variable (la t) dos veces diferenciable, le aplicamos el Teorema 51 de Taylor (tomando los puntos a = 0, x = 1) y deducimos que existe un μ€ (0; 1) tal que//g(1) = g(0) + g´(0) +1/2g´´(μ)// y sólo resta sustituir: //g(0) = f(  (0)) = f(x0, y0)//g(1) = f(  (1)) = f(x0 + h, y0 + k)// Para calcular g´(t), aplicamos la Regla de la Cadena (Teorema 49): g´(t) = D1f(  (t))   (t) + D2f(  (t))  (t) = D1f(  (t))h + D2f(  (t))k, luego g´(0) = D1f( (0))h + D2f( (0))k = D1f(x0,y0)h + D2f(x0,y0)k. Finalmente, para calcular g´´(t) derivamos g´(t) aplicando la Regla de la Cadena (Teorema 49) a D1f( (t)) y a D2f( (t)): g´´(t) =(D11f( (t))h + D21f( (t))k)h + (D12f( (t))h + D22f( (t))k)k = D11f( (t))h²+ 2D21f( (t))hk + D22f( (t))k²y, entonces, g´´(μ) = D11f(x0 +μh, y0+μk)h²+ 2D12f(x0 +μh, y0 +μk)hk + D22f(x0 +μh; y0 +μk)k²Teorema (Condición necesaria) Sea f : X  R->R diferenciable en x0 punto interior de X. Si x0 es un extremo local de f, entonces f´(x0) = 0 (punto crítico de f).//Dem: Supongamos que x0 es un mínimo local de f. Entonces, f(x0+h) -f(x0) es positivo para valores de h menores que un δ>0(ver Definición 52). Para valores positivos de estos h tenemos que (f(x0+h)-f(x0))/h > 0, y tomando límites,//lim h->0+ (f(x0+h)-f(x0))/h ≥ 0 => f´(x0)≥0//Notar que el límite existe y vale f´(x0) pues f es diferenciable. Para valores negativos de estos h tenemos que (f(x0+h)-f(x0))/h < 0,="" y="" tomando="" límites,="" lim="" h-="">0+ (f(x0+h)-f(x0))/h ≤ 0 => f´(x0)≤0Como f´(x0) ≥ 0 y f´(x0) ≤ 0, necesariamente f´(x0) = 0.// Se llama condición necesaria porque el hecho de que f(x0) = 0 no garantiza que x0 sea máximo ni mínimo local de f, como puede verse en la función de la Figura 70: los puntos 1,2 y 3 son puntos críticos (derivada nula) pero 2 no es máximo ni mínimo local. Así, hace falta una condición suciente, que viene de las derivadas de orden superior:

(Condición suficiente) Sea f : X   R->R n-diferenciable con f ^(n) continua en X intervalo. Sea x0 punto interior de X tal que f´(x0) = f´´(x0) = f´´´(x0) =... = f^(n-1) (x0) = 0, pero que f^(n) (x0)≠0 , con n≥2.//1. si n es par y f^(n) (x0) < 0="" entonces="" x0="" es="" máximo="" local="" de="" f,//2.="" si="" n="" es="" par="" y="" f^(n)="" (x0)=""> 0 entonces x0 es mínimo local de f,//3. si n es impar entonces x0 no es extremo local de f Dem: Como f^(n) es continua en X y f^(n) (x0) no se anula, existe un entorno J de x0 donde f^(n) (x) toma el mismo signo que f^(n) (x0). Sean x, x0 € J y apliquemos el Teorema 51 de Taylor: existe un entre x y x0 tal que f(x) = f(x0) +( f´(x0)/1!) (x x0) +...+ (f`(n-1)(x0))/(n 1)! *(x-x0)^n-1 +(f^(n)(α))/n!*(x-x0)^n//y como todas las derivadas hasta n 1 son nulas, tenemos que//f(x)-f(x0) = (f^(n) (α))/n!*(x-x0)^n//Así, si n es par entonces (x-x0)^n > 0 y, por lo tanto, si f^(n) (x0) < 0="" entonces="" f(x)="">< f(x0),="" para="" todo="" x €="" j="" y="" x0="" es="" máximo="" local="" de="" f="" y="" si="" f^(n)="" (x0)=""> 0 entonces f(x) > f(x0), para todo x € J y x0 es mínimo local de f. Por último, si n es impar, entonces (x-x0)^n es positivo y negativo y, por lo tanto, x0 no es extremo local de f.(de los Multiplicadores de Lagrange) Sean f; g : A  R²->R funciones con derivadas parciales continuas en A. Si (x0, y0) es un extremo de f condicionado a la restricción g(x, y) = 0, entonces existe un λ€R (llamado Multiplicador de Lagrange) tal que  f(x0, y0) =λ  g(x0,y0), es decir,//{D1f(x0,y0) =λD1g(x0, y0)//D2f(x0,y0) =λD2g(x0,y0)//DemSea  : J   R->A, (t)= ( 1(t), 2(t)), una parametrización de la curva descrita por los puntos que satisfacen la restricción g(x; y) = 0. Por lo tanto, g( (t)) = 0 para todo t € J. Sea t0 €J tal que (t0) = ( 1(t0),  2(t0)) = (x0,y0). Consideremos la función compuesta h(t) = f( (t)), t € J. Como f tiene en (x0,y0) un extremo condicionado a la restricción g(x, y) = 0, la función h tiene en t0 un extremo local. Por el Teorema 59, h´(t0) = 0 y, por la regla de la cadena (Teorema 49) tenemos que//(   f( (t0))/  (t0))=  f(x0, y0)/  (t0)= 0//Por otro lado, puesto que g( (t)) = 0 para todo t € J, derivando también con la regla de la cadena (Teorema 49) tenemos que  g( (t))/  (t)= 0 para todo t€J. En particular para t = t0 tenemos que//(  g( (t0))/ (t0))=(  g(x0, y0)/ (t0)= 0//Por lo tanto, los vectores   f(x0,y0) y  g(x0,y0) de R²son ortogonales a un mismo vector  (t0) € R² luego son proporcionales, es decir, existe un λ€ R tal que   f(x0, y0) =λ   g(x0,y0).(Fundamental del Cálculo) Sea F una primitiva cualquiera de una función f integrable en [a; b]. Entonces: ∫ba f = F (b)- F(a)Dem: Dada P = {t0; t1; t2,...,tn} €P una partición cualquiera, podemos expresar F(b)-F(a) = ∑n j=1 (F(tj ) -F(tj-1))Como F es diferenciable, aplicamos el TVML (Teorema 44) y existe un punto zj en cada subtervalo (tj-1, tj ) tal que//(F(tj) -F(tj-1))/ (tj- tj-1)= F´(zj) = f(zj), => F(tj)-F(tj-1) = f(zj)-(tj-tj-1)//luego F(b)-F(a) =∑nJ=1 f(zj)(tj-tj-1)y como cada mj≤ f(zj )≤ Mj tenemos que//L(f; P) ≤F(b) -F(a) ≤U(f; P); para toda partición P € P.//Pero si f es integrable, el único valor que está entre todas las sumas superiores y todas las inferiores es la integral, luego F(b)- F(a) = ∫ba f