Apuntes y ejercicios del tema 2 1

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APUNTES Y EJERCICIOS DEL TEMA 2 1-T2

FRACCIONES (Q): Son divisiones entre 2 números. Se reconocen porque veo un nº encima de una raya y debajo de ella hay otro nº. Al nº de la parte de abajo se le llama denominador, el cual indica las partes iguales en la que se ha dividido una unidad. Al nº superior se le llama numerador e indica la cantidad de partes iguales que se han cogido, pintado, perdido,...
Para leerlas, se empieza diciendo el nº de arriba normal y se sigue diciendo
medio/s, tercio/s, cuarto/s,..., décimo/s, onceavo/s,..., setenta y dosavo/s,... (si los denominadores son 2, 3, 4,..., 10, 11,..., 72,...).
También las fracciones las podemos dividir en dos grandes grupos, como son las positivas y las negativas, tal que así:
Positivas à = + = = = = + = + = ...
Negativas à - = = + = = + = - = - = ...
Las fracciones, también llamadas quebrados y razones, se clasifican de esta forma:
F. Propias (tienen el numerador menor que el denominador, y por ello son menores que la unidad), F.Unidad (tienen el num. igual que el den. y por eso son iguales al nº 1), F. Impropias (las contrarias que las propias, se pueden pasar a nº mixto), F. Enteras (las que al dividir el num. entre el den. sale un nº entero, es decir, la división es exacta) F. Equivalentes (las que valen o representan lo mismo. Al multiplicarlas en cruz sale el mismo resultado), F. Irreducibles (aquellas que no se pueden simplificar).

FRACCIÓN DE UN TOTAL = PARTE: Cuando tengo que aplicar a un nº una fracción, el nº queda multiplicado por el numerador y a su vez dividido por el denominador (o viceversa):
2/5 de 560 = 560 x 2 : 5 = 560 : 5 x 2 = 224.
Si tuviera que adivinar el TOTAL porque me están dando la PARTE, las operaciones se harían al contrario de lo anterior, esto es, cogeríamos al nº (la parte) y lo dividiríamos por el numerador y lo multiplicaríamos por el denominador (o viceversa):
3/8 de ¿? = 210 ; ¿? = 210 : 3 x 8 = 210 x 8 : 3 = 560

EJERCICIO

1.- De la página 35 del libro, los n
os1, 2, 3 a, 4 a y 6.

AMPLIFICACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN: Cada uno de ellos es un método para obtener fracciones equivalentes. El primero consiste en multiplicar al numerador y denominador por un mismo nº (se obtendrían así infinitas), y el segundo se hace dividiendo al num. y den. por un mismo nº que haga que ambas divisiones salgan exactas. La simplificación se puede hacer de varias formas:
- mediante
simplificaciones sucesivas - mediante una descomposición factorial de los 2 nºs de la fracción y tachando después - y mediante el MCD.

REPRESENTACIÓN DE FRACCIONES: Este año vamos a representar dos fracciones en una misma recta, una de ellas será positiva y la otra negativa. Para hacerlo como hay que hacerlo, hay que empezar haciendo todas las unidades iguales, tanto las negativas como positivas, y para eso antes de nada debo de elegir cuántos cuadraditos voy a separar a las unidades. Después, se haría así: 3/5 y -8/3.

(espacio para hacerlo)

ORDEN DE FRACCIONES: Para ordenar fracciones que no tienen el mismo denominador, es obligatorio pasarlas a común denominador. Después, las negativas serán más pequeñas que las positivas. Un caso parecido a esto de ordenar fracciones es decir qué fracción está comprendida entre otras 2, ya que si no tienen el mismo denominador lo primero que habrá que hacer es pasarlas a común denominador. Siempre entre 2 fracciones cualesquiera hay infinitas comprendidas entre ellas (a no ser que ambas fracciones sean equivalentes):

2/3 y 5/3 - 2/5 y 3/10 - 6/9 y 8/12

EJERCICIOS
2-T2

2.- De la página 36 del libro, los nos 7, 8, 9 y 10 ad. También, los ejercicios 11 ade, 12 adef y 13 de la página 37.
3.- De la página 38 del libro, el nº 15. Por otro lado, representa en la misma recta 5/4 y -9/7.
4.- Alberto ha resuelto bien los 2/3 de los ejercicios en una prueba y su amiga Raquel, los 3/5. ¿Quién obtendrá mejor nota?

OPERACIONES COMBINADAS: Se siguen los mismos pasos como si fuesen nºs enteros, es decir, 1º paréntesis, 2º potencias y raíces, 3º multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparezcan, y 4º sumas y restas. Decir que si hay un par de signos delante de una fracción, para hacer las cosas más fáciles, se debe aplicar la regla se los signos y dejar tan solo el que salga de aplicarla.
Supongo que recordáis cómo se hacen las 4 operaciones básicas con las fracciones, ¿no? Os refrescaré la memoria. Las
sumas y las restas hay que pasarlas a común denominador, para luego dejar el mismo denominador y sumar los numeradores. Las multiplicaciones, se multiplican los numeradores y por otro lado los denominadores (para adelante, como los burros de ...). Y las divisiones, se multiplica el num1 por el den2 y se coloca en el numerador del resultado, y el den1 por el num2 y se coloca en el denominador del resultado. Acordaos, que si el resultado se puede simplificar, hay que hacerlo, aunque no lo indique el enunciado de la pregunta.

FRACCIONES UNITARIAS: Los antiguos egipcios ponían cada fracción como suma de 2 (ó 3) fracciones con un 1 en el numerador, y no repetían ningún sumando:

= + = + = = + = +

(Observa que en la suma + no nos vale, y por eso hemos amplificado )

EJERCICIOS


5.- Efectúa: a) - ( - ) b) 2 - (- ) + c) · ( ) ·
d) - · · e) : ( · )
6.- Marta ha colocado de las piezas de un puzzle y después Abel ha completado los . En un descuido, su hermano pequeño ha quitado 1/50 de las piezas. ¿Qué fracción del puzzle ha quedado intacta?
7.- Llega al resultado final, y acuérdate de simplificar el resultado si se pudiera:

a.- - ( - - + - 1) :
b.- · + 2 - ( + 10 · ) - 1
c.- 2 - : + ( - 1) - 4 : +
d.- - 1 : ( + 6) - · (- + 2)
e.- - + ( + - 1) : ( - ) - (- )
f.- 1 - ( - + - : ) +
g.- + · ( - 1 - ) - - (- )
2 “ -1/2” es la base, “2” el exponente
8.- De la página 41 del libro, los n
os 20 b, 21 c, 23 y 24. 3-T2
9.- Haz como los antiguos egipcios con estas fracciones: 4/9 ,, 7/10 ,, 8/15 ,, 2/11 ,, 3/25


POTENCIAS Y RAÍCES CUADRADAS DE FRACCIONES: Es bastante interesante, pero nos detendremos más en esto en el siguiente tema. De todas formas, se siguen los mismos patrones.

FRACCIONES Y DECIMALES:
Ya sabemos que los decimales vienen de fracciones al dividir el numerador entre el denominador (también de la invención del hombre y de raíces enteras). Pues a los nº
s decimales que provienen de las fracciones se los llama s decimales racionales, y se dividen en:
a.-
s dec. Exactos (limitados): Se caracterizan porque en la parte decimal hay una serie de cifras decimales (1, 2, 3, ...), un nº fijo de cifras decimales, y eso pasa porque cuando vamos haciendo la división llega un momento en que ésta sale exacta. Se pueden reconocer las fracciones que dan este tipo de nºs mirándoles el denominador: “debe ser múltiplo de 2, o de 5 o de 2 y 5 a la vez, pero de ningún otro nº más”: 3´28 - 56´2 - 0´089

b.-
s dec. Periódicos (ilimitados): Se caracterizan porque en la parte decimal hay infinitas cifras decimales, y eso ocurre porque la división nunca se va a acabar por mucho que queramos. Se pueden reconocer este tipo de fracciones mirando el denominador: “se tiene un nº que no es múltiplo solo de 2, ni solo de 5, ni de 2 ni 5 a la vez, sino que aparecen más factores”.
A su vez, los nº
s dec. periódicos se dividen en 2 grupos:

b
1.- s d. p. Puros, que son los que en la parte decimal solo tienen las cifras que se repiten indefinidamente (Periodo). Ej:

4 ´ 28 - 0 ´ 307 - 1´ 6

b
2.- s d. p. Mixtos, que son los que en la parte decimal tienen cifra/s que no se repiten (Anteperiodo) seguido de la/s cifra/s que se repiten indefinidamente (periodo). Ej:

4 ´ 28 - 0 ´ 30 7 - 53 ´ 1 326

Por otro lado están los nº
s decimales que no provienen de una fracción (división) los cuales los llamamos s decimales irracionales.
La unión de todos los números decimales que existen (los racionales y los irracionales juntos) los llamamos
NÚMEROS REALES (lo suelo preguntar en los exámenes).


FRACCIÓN GENERATRIZ: Es hacer justo lo contrario de lo anterior. Se trata de que nos dan un número decimal cualquiera y debemos encontrar la fracción que ha dado dicho nº decimal. ¿Cómo?
a.-
F.G. de los nºs d. exactos: Se coloca en el numerador el nº completo sin la coma, y en el denominador un 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga el nº decimal. Ej:

3´28 = ,, - 0´089 = -

b.-
F.G. de los nºs d. p. puros: Se coloca en el num. el nº completo sin la coma ni el arquito y se le restan las cifras que no están en el periodo (las de la parte entera), y en el den. se pone un 9 por cada cifra que haya en el periodo. Ej:

4 ´ 28 = = ,, 0 ´ 307 = =

c.-
F.G. de los nºs d. p. mixtos: Se coloca en el numerador el nº completo sin la coma ni el arquito y se le restan las cifras que no estén en el periodo (las de la parte entera seguidas de las del anteperiodo), y en el denominador se colocan tantos 9 como cifras haya en el periodo seguido de tantos 0 como cifras haya en el anteperiodo. Ej:

4 ´ 2 8 = = ,, 53 ´ 1 326 = =
EJERCICIOS
4-T2

10.- De la página 44 del libro, los n
os 32 y 33. También el nº 34 de la página siguiente, y le hacéis lo mismo a 19´752 , 19´752 (periodo 752) , 19´752 (periodo 52) , -10´65 (periodo 65) y 0´907 (periodo 7).


OPERACIONES CON DECIMALES:
Me temo que no voy a deciros nada sobre este tema, ya que supongo que lo sabéis hacer sin problemas. Si existiera alguna duda, consultar los apuntes de otros años.



EJERCICIOS DEL TRABAJO: 43 ab, 44, 46, 48, 49, 51 a, 54, 57, 58, 60, 61, 64, 68, 71, 73, 76, 77, 80 y 81. Debes explicarlos todo lo que puedas y sea necesario.

EJERCICOS CAMBIADOS O MODIFICADOS:
46.- Es el que hay. Os doy el dato de que, una vez simplifiquéis y lleguéis a la fracción irreducible, los numeradores que os deben de salir son menores que “el valor absoluto de - 50”.
49.- Representa sobre una recta los siguientes pares de fracciones:
a) y - b) y - c) y - d) y -
57.- Halla el nº decimal correspondiente a cada una de las fracciones siguientes, y clasifícalos. (quiero ver las divisiones): , , , , , y (esta última fracción tiene 22 cifras periódicas)
64.- Es el que hay, pero le metéis también los n
os 5´47 y - 0´1235 (las cifras 235 son las cifras periódicas).
76.- Carlos está leyendo un libro. La primera semana lee 3/7 de las páginas y la 2ª los 4/5 del resto. Si todavía le quedan 48 páginas por leer, ¿cuántas páginas tiene el libro?
77.- El apartado a) es el que hay. Luego vienen estos otros 3 apartados:
b) c) [( )
-1 · (- 3)2]-2 d)